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|
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|
|||
|
|
|
|||
|
|
Probability density function of beta distribution.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
x : array_like
|
|||
|
|
Real-valued such that :math:`0 \leq x \leq 1`,
|
|||
|
|
the upper limit of integration
|
|||
|
|
a, b : array_like
|
|||
|
|
Positive, real-valued parameters
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
scalar or ndarray _beta_ppf(x, a, b)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Percent point function of beta distribution.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
x : array_like
|
|||
|
|
Real-valued such that :math:`0 \leq x \leq 1`,
|
|||
|
|
the upper limit of integration
|
|||
|
|
a, b : array_like
|
|||
|
|
Positive, real-valued parameters
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
scalar or ndarray _binom_cdf(x, n, p)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Cumulative density function of binomial distribution.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
x : array_like
|
|||
|
|
Real-valued
|
|||
|
|
n : array_like
|
|||
|
|
Positive, integer-valued parameter
|
|||
|
|
p : array_like
|
|||
|
|
Positive, real-valued parameter
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
scalar or ndarray _binom_isf(x, n, p)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Inverse survival function of binomial distribution.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
x : array_like
|
|||
|
|
Real-valued
|
|||
|
|
n : array_like
|
|||
|
|
Positive, integer-valued parameter
|
|||
|
|
p : array_like
|
|||
|
|
Positive, real-valued parameter
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
scalar or ndarray _binom_pmf(x, n, p)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Probability mass function of binomial distribution.
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|
|
|
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|
|
Parameters
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|||
|
|
----------
|
|||
|
|
x : array_like
|
|||
|
|
Real-valued
|
|||
|
|
n : array_like
|
|||
|
|
Positive, integer-valued parameter
|
|||
|
|
p : array_like
|
|||
|
|
Positive, real-valued parameter
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
scalar or ndarray _binom_ppf(x, n, p)
|
|||
|
|
|
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|
|
Percent point function of binomial distribution.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
x : array_like
|
|||
|
|
Real-valued
|
|||
|
|
n : array_like
|
|||
|
|
Positive, integer-valued parameter
|
|||
|
|
p : array_like
|
|||
|
|
Positive, real-valued parameter
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
scalar or ndarray _binom_sf(x, n, p)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Survival function of binomial distribution.
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|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
x : array_like
|
|||
|
|
Real-valued
|
|||
|
|
n : array_like
|
|||
|
|
Positive, integer-valued parameter
|
|||
|
|
p : array_like
|
|||
|
|
Positive, real-valued parameter
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
scalar or ndarray _cauchy_isf(p, loc, scale)
|
|||
|
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|
Inverse survival function of the Cauchy distribution.
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|
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|
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|
|
Parameters
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|||
|
|
----------
|
|||
|
|
p : array_like
|
|||
|
|
Probabilities
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|
|
loc : array_like
|
|||
|
|
Location parameter of the distribution.
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|||
|
|
scale : array_like
|
|||
|
|
Scale parameter of the distribution.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
scalar or ndarray _cauchy_ppf(p, loc, scale)
|
|||
|
|
|
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|
|
Percent point function (i.e. quantile) of the Cauchy distribution.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
p : array_like
|
|||
|
|
Probabilities
|
|||
|
|
loc : array_like
|
|||
|
|
Location parameter of the distribution.
|
|||
|
|
scale : array_like
|
|||
|
|
Scale parameter of the distribution.
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|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
scalar or ndarray _cosine_cdf(x)
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|||
|
|
|
|||
|
|
Cumulative distribution function (CDF) of the cosine distribution::
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|||
|
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|
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{ 0, x < -pi
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|||
|
|
cdf(x) = { (pi + x + sin(x))/(2*pi), -pi <= x <= pi
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|
|
{ 1, x > pi
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
x : array_like
|
|||
|
|
`x` must contain real numbers.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
scalar or ndarray
|
|||
|
|
The cosine distribution CDF evaluated at `x`. _cosine_invcdf(p)
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|||
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|
|
Inverse of the cumulative distribution function (CDF) of the cosine
|
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|
|
distribution.
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|
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|
|||
|
|
The CDF of the cosine distribution is::
|
|||
|
|
|
|||
|
|
cdf(x) = (pi + x + sin(x))/(2*pi)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
This function computes the inverse of cdf(x).
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
p : array_like
|
|||
|
|
`p` must contain real numbers in the interval ``0 <= p <= 1``.
|
|||
|
|
`nan` is returned for values of `p` outside the interval [0, 1].
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
scalar or ndarray
|
|||
|
|
The inverse of the cosine distribution CDF evaluated at `p`. Internal function, use `ellip_harm` instead. Internal function, do not use. _hypergeom_cdf(x, r, N, M)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Cumulative density function of hypergeometric distribution.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
x : array_like
|
|||
|
|
Real-valued
|
|||
|
|
r, N, M : array_like
|
|||
|
|
Positive, integer-valued parameter
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
scalar or ndarray _hypergeom_mean(r, N, M)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Mean of hypergeometric distribution.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
r, N, M : array_like
|
|||
|
|
Positive, integer-valued parameter
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
scalar or ndarray _hypergeom_pmf(x, r, N, M)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Probability mass function of hypergeometric distribution.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
x : array_like
|
|||
|
|
Real-valued
|
|||
|
|
r, N, M : array_like
|
|||
|
|
Positive, integer-valued parameter
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
scalar or ndarray _hypergeom_sf(x, r, N, M)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Survival function of hypergeometric distribution.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
x : array_like
|
|||
|
|
Real-valued
|
|||
|
|
r, N, M : array_like
|
|||
|
|
Positive, integer-valued parameter
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
scalar or ndarray _hypergeom_skewness(r, N, M)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Skewness of hypergeometric distribution.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
r, N, M : array_like
|
|||
|
|
Positive, integer-valued parameter
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
scalar or ndarray _hypergeom_variance(r, N, M)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Mean of hypergeometric distribution.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
r, N, M : array_like
|
|||
|
|
Positive, integer-valued parameter
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
scalar or ndarray _invgauss_isf(x, mu, s)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Inverse survival function of inverse gaussian distribution.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
x : array_like
|
|||
|
|
Positive real-valued
|
|||
|
|
mu : array_like
|
|||
|
|
Positive, real-valued parameters
|
|||
|
|
s : array_like
|
|||
|
|
Positive, real-valued parameters
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
scalar or ndarray _invgauss_ppf(x, mu)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Percent point function of inverse gaussian distribution.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
x : array_like
|
|||
|
|
Positive real-valued
|
|||
|
|
mu : array_like
|
|||
|
|
Positive, real-valued parameters
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
scalar or ndarray _landau_cdf(x, loc, scale)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Cumulative distribution function of the Landau distribution.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
x : array_like
|
|||
|
|
Real-valued argument
|
|||
|
|
loc : array_like
|
|||
|
|
Real-valued distribution location
|
|||
|
|
scale : array_like
|
|||
|
|
Positive, real-valued distribution scale
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
scalar or ndarray _landau_isf(p, loc, scale)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Inverse survival function of the Landau distribution.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
p : array_like
|
|||
|
|
Real-valued argument between 0 and 1
|
|||
|
|
loc : array_like
|
|||
|
|
Real-valued distribution location
|
|||
|
|
scale : array_like
|
|||
|
|
Positive, real-valued distribution scale
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
scalar or ndarray _landau_pdf(x, loc, scale)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Probability density function of the Landau distribution.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
x : array_like
|
|||
|
|
Real-valued argument
|
|||
|
|
loc : array_like
|
|||
|
|
Real-valued distribution location
|
|||
|
|
scale : array_like
|
|||
|
|
Positive, real-valued distribution scale
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
scalar or ndarray _landau_ppf(p, loc, scale)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Percent point function of the Landau distribution.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
p : array_like
|
|||
|
|
Real-valued argument between 0 and 1
|
|||
|
|
loc : array_like
|
|||
|
|
Real-valued distribution location
|
|||
|
|
scale : array_like
|
|||
|
|
Positive, real-valued distribution scale
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
scalar or ndarray _landau_sf(x, loc, scale)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Survival function of the Landau distribution.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
x : array_like
|
|||
|
|
Real-valued argument
|
|||
|
|
loc : array_like
|
|||
|
|
Real-valued distribution location
|
|||
|
|
scale : array_like
|
|||
|
|
Positive, real-valued distribution scale
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
scalar or ndarray _nbinom_cdf(x, r, p)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Cumulative density function of negative binomial distribution.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
x : array_like
|
|||
|
|
Real-valued
|
|||
|
|
r : array_like
|
|||
|
|
Positive, integer-valued parameter
|
|||
|
|
p : array_like
|
|||
|
|
Positive, real-valued parameter
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
scalar or ndarray _nbinom_isf(x, r, p)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Inverse survival function of negative binomial distribution.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
x : array_like
|
|||
|
|
Real-valued
|
|||
|
|
r : array_like
|
|||
|
|
Positive, integer-valued parameter
|
|||
|
|
p : array_like
|
|||
|
|
Positive, real-valued parameter
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
scalar or ndarray _nbinom_kurtosis_excess(r, p)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Kurtosis excess of negative binomial distribution.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
r : array_like
|
|||
|
|
Positive, integer-valued parameter
|
|||
|
|
p : array_like
|
|||
|
|
Positive, real-valued parameter
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
scalar or ndarray _nbinom_mean(r, p)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Mean of negative binomial distribution.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
r : array_like
|
|||
|
|
Positive, integer-valued parameter
|
|||
|
|
p : array_like
|
|||
|
|
Positive, real-valued parameter
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
scalar or ndarray _nbinom_pmf(x, r, p)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Probability mass function of negative binomial distribution.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
x : array_like
|
|||
|
|
Real-valued
|
|||
|
|
r : array_like
|
|||
|
|
Positive, integer-valued parameter
|
|||
|
|
p : array_like
|
|||
|
|
Positive, real-valued parameter
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
scalar or ndarray _nbinom_ppf(x, r, p)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Percent point function of negative binomial distribution.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
x : array_like
|
|||
|
|
Real-valued
|
|||
|
|
r : array_like
|
|||
|
|
Positive, integer-valued parameter
|
|||
|
|
p : array_like
|
|||
|
|
Positive, real-valued parameter
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
scalar or ndarray _nbinom_sf(x, r, p)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Survival function of negative binomial distribution.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
x : array_like
|
|||
|
|
Real-valued
|
|||
|
|
r : array_like
|
|||
|
|
Positive, integer-valued parameter
|
|||
|
|
p : array_like
|
|||
|
|
Positive, real-valued parameter
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
scalar or ndarray _nbinom_skewness(r, p)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Skewness of negative binomial distribution.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
r : array_like
|
|||
|
|
Positive, integer-valued parameter
|
|||
|
|
p : array_like
|
|||
|
|
Positive, real-valued parameter
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
scalar or ndarray _nbinom_variance(r, p)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Variance of negative binomial distribution.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
r : array_like
|
|||
|
|
Positive, integer-valued parameter
|
|||
|
|
p : array_like
|
|||
|
|
Positive, real-valued parameter
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
scalar or ndarray _ncf_isf(x, v1, v2, l)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Inverse survival function of noncentral F-distribution.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
x : array_like
|
|||
|
|
Positive real-valued
|
|||
|
|
v1, v2, l : array_like
|
|||
|
|
Positive, real-valued parameters
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
scalar or ndarray _ncf_kurtosis_excess(v1, v2, l)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Kurtosis excess of noncentral F-distribution.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
v1, v2, l : array_like
|
|||
|
|
Positive, real-valued parameters
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
scalar or ndarray _ncf_mean(v1, v2, l)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Mean of noncentral F-distribution.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
v1, v2, l : array_like
|
|||
|
|
Positive, real-valued parameters
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
scalar or ndarray _ncf_pdf(x, v1, v2, l)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Probability density function of noncentral F-distribution.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
x : array_like
|
|||
|
|
Positive real-valued
|
|||
|
|
v1, v2, l : array_like
|
|||
|
|
Positive, real-valued parameters
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
scalar or ndarray _ncf_sf(x, v1, v2, l)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Survival function of noncentral F-distribution.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
x : array_like
|
|||
|
|
Positive real-valued
|
|||
|
|
v1, v2, l : array_like
|
|||
|
|
Positive, real-valued parameters
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
scalar or ndarray _ncf_skewness(v1, v2, l)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Skewness of noncentral F-distribution.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
v1, v2, l : array_like
|
|||
|
|
Positive, real-valued parameters
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
scalar or ndarray _ncf_variance(v1, v2, l)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Variance of noncentral F-distribution.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
v1, v2, l : array_like
|
|||
|
|
Positive, real-valued parameters
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
scalar or ndarray _nct_isf(x, v, l)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Inverse survival function of noncentral t-distribution.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
x : array_like
|
|||
|
|
Real-valued
|
|||
|
|
v : array_like
|
|||
|
|
Positive, real-valued parameters
|
|||
|
|
l : array_like
|
|||
|
|
Real-valued parameters
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
scalar or ndarray _nct_kurtosis_excess(v, l)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Kurtosis excess of noncentral t-distribution.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
v : array_like
|
|||
|
|
Positive, real-valued parameters
|
|||
|
|
l : array_like
|
|||
|
|
Real-valued parameters
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
scalar or ndarray _nct_mean(v, l)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Mean of noncentral t-distribution.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
v : array_like
|
|||
|
|
Positive, real-valued parameters
|
|||
|
|
l : array_like
|
|||
|
|
Real-valued parameters
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
scalar or ndarray _nct_pdf(x, v, l)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Probability density function of noncentral t-distribution.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
x : array_like
|
|||
|
|
Real-valued
|
|||
|
|
v : array_like
|
|||
|
|
Positive, real-valued parameters
|
|||
|
|
l : array_like
|
|||
|
|
Real-valued parameters
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
scalar or ndarray _nct_sf(x, v, l)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Survival function of noncentral t-distribution.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
x : array_like
|
|||
|
|
Real-valued
|
|||
|
|
v : array_like
|
|||
|
|
Positive, real-valued parameters
|
|||
|
|
l : array_like
|
|||
|
|
Real-valued parameters
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
scalar or ndarray _nct_skewness(v, l)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Skewness of noncentral t-distribution.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
v : array_like
|
|||
|
|
Positive, real-valued parameters
|
|||
|
|
l : array_like
|
|||
|
|
Real-valued parameters
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
scalar or ndarray _nct_variance(v, l)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Variance of noncentral t-distribution.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
v : array_like
|
|||
|
|
Positive, real-valued parameters
|
|||
|
|
l : array_like
|
|||
|
|
Real-valued parameters
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
scalar or ndarray _ncx2_isf(x, k, l)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Inverse survival function of Non-central chi-squared distribution.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
x : array_like
|
|||
|
|
Positive real-valued
|
|||
|
|
k, l : array_like
|
|||
|
|
Positive, real-valued parameters
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
scalar or ndarray _ncx2_pdf(x, k, l)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Probability density function of Non-central chi-squared distribution.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
x : array_like
|
|||
|
|
Positive real-valued
|
|||
|
|
k, l : array_like
|
|||
|
|
Positive, real-valued parameters
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
scalar or ndarray _ncx2_sf(x, k, l)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Survival function of Non-central chi-squared distribution.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
x : array_like
|
|||
|
|
Positive real-valued
|
|||
|
|
k, l : array_like
|
|||
|
|
Positive, real-valued parameters
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
scalar or ndarray _skewnorm_cdf(x, l, sc, sh)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Cumulative density function of skewnorm distribution.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
x : array_like
|
|||
|
|
Real-valued
|
|||
|
|
l : array_like
|
|||
|
|
Real-valued parameters
|
|||
|
|
sc : array_like
|
|||
|
|
Positive, Real-valued parameters
|
|||
|
|
sh : array_like
|
|||
|
|
Real-valued parameters
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
scalar or ndarray _skewnorm_isf(x, l, sc, sh)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Inverse survival function of skewnorm distribution.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
x : array_like
|
|||
|
|
Real-valued
|
|||
|
|
l : array_like
|
|||
|
|
Real-valued parameters
|
|||
|
|
sc : array_like
|
|||
|
|
Positive, Real-valued parameters
|
|||
|
|
sh : array_like
|
|||
|
|
Real-valued parameters
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
scalar or ndarray _skewnorm_ppf(x, l, sc, sh)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Percent point function of skewnorm distribution.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
x : array_like
|
|||
|
|
Real-valued
|
|||
|
|
l : array_like
|
|||
|
|
Real-valued parameters
|
|||
|
|
sc : array_like
|
|||
|
|
Positive, Real-valued parameters
|
|||
|
|
sh : array_like
|
|||
|
|
Real-valued parameters
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
scalar or ndarray _smirnovc(n, d)
|
|||
|
|
Internal function, do not use. _smirnovp(n, p)
|
|||
|
|
Internal function, do not use. _struve_asymp_large_z(v, z, is_h)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Internal function for testing `struve` & `modstruve`
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Evaluates using asymptotic expansion
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
v, err _struve_bessel_series(v, z, is_h)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Internal function for testing `struve` & `modstruve`
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Evaluates using Bessel function series
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
v, err _struve_power_series(v, z, is_h)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Internal function for testing `struve` & `modstruve`
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Evaluates using power series
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
v, err agm(a, b, out=None)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Compute the arithmetic-geometric mean of `a` and `b`.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Start with a_0 = a and b_0 = b and iteratively compute::
|
|||
|
|
|
|||
|
|
a_{n+1} = (a_n + b_n)/2
|
|||
|
|
b_{n+1} = sqrt(a_n*b_n)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
a_n and b_n converge to the same limit as n increases; their common
|
|||
|
|
limit is agm(a, b).
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
a, b : array_like
|
|||
|
|
Real values only. If the values are both negative, the result
|
|||
|
|
is negative. If one value is negative and the other is positive,
|
|||
|
|
`nan` is returned.
|
|||
|
|
out : ndarray, optional
|
|||
|
|
Optional output array for the function values
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
scalar or ndarray
|
|||
|
|
The arithmetic-geometric mean of `a` and `b`.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Examples
|
|||
|
|
--------
|
|||
|
|
>>> import numpy as np
|
|||
|
|
>>> from scipy.special import agm
|
|||
|
|
>>> a, b = 24.0, 6.0
|
|||
|
|
>>> agm(a, b)
|
|||
|
|
13.458171481725614
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Compare that result to the iteration:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> while a != b:
|
|||
|
|
... a, b = (a + b)/2, np.sqrt(a*b)
|
|||
|
|
... print("a = %19.16f b=%19.16f" % (a, b))
|
|||
|
|
...
|
|||
|
|
a = 15.0000000000000000 b=12.0000000000000000
|
|||
|
|
a = 13.5000000000000000 b=13.4164078649987388
|
|||
|
|
a = 13.4582039324993694 b=13.4581390309909850
|
|||
|
|
a = 13.4581714817451772 b=13.4581714817060547
|
|||
|
|
a = 13.4581714817256159 b=13.4581714817256159
|
|||
|
|
|
|||
|
|
When array-like arguments are given, broadcasting applies:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> a = np.array([[1.5], [3], [6]]) # a has shape (3, 1).
|
|||
|
|
>>> b = np.array([6, 12, 24, 48]) # b has shape (4,).
|
|||
|
|
>>> agm(a, b)
|
|||
|
|
array([[ 3.36454287, 5.42363427, 9.05798751, 15.53650756],
|
|||
|
|
[ 4.37037309, 6.72908574, 10.84726853, 18.11597502],
|
|||
|
|
[ 6. , 8.74074619, 13.45817148, 21.69453707]]) bdtr(k, n, p, out=None)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Binomial distribution cumulative distribution function.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Sum of the terms 0 through `floor(k)` of the Binomial probability density.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
.. math::
|
|||
|
|
\mathrm{bdtr}(k, n, p) =
|
|||
|
|
\sum_{j=0}^{\lfloor k \rfloor} {{n}\choose{j}} p^j (1-p)^{n-j}
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
k : array_like
|
|||
|
|
Number of successes (double), rounded down to the nearest integer.
|
|||
|
|
n : array_like
|
|||
|
|
Number of events (int).
|
|||
|
|
p : array_like
|
|||
|
|
Probability of success in a single event (float).
|
|||
|
|
out : ndarray, optional
|
|||
|
|
Optional output array for the function values
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
y : scalar or ndarray
|
|||
|
|
Probability of `floor(k)` or fewer successes in `n` independent events with
|
|||
|
|
success probabilities of `p`.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Notes
|
|||
|
|
-----
|
|||
|
|
The terms are not summed directly; instead the regularized incomplete beta
|
|||
|
|
function is employed, according to the formula,
|
|||
|
|
|
|||
|
|
.. math::
|
|||
|
|
\mathrm{bdtr}(k, n, p) =
|
|||
|
|
I_{1 - p}(n - \lfloor k \rfloor, \lfloor k \rfloor + 1).
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Wrapper for the Cephes [1]_ routine `bdtr`.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
References
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
.. [1] Cephes Mathematical Functions Library,
|
|||
|
|
http://www.netlib.org/cephes/ bdtrc(k, n, p, out=None)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Binomial distribution survival function.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Sum of the terms `floor(k) + 1` through `n` of the binomial probability
|
|||
|
|
density,
|
|||
|
|
|
|||
|
|
.. math::
|
|||
|
|
\mathrm{bdtrc}(k, n, p) =
|
|||
|
|
\sum_{j=\lfloor k \rfloor +1}^n {{n}\choose{j}} p^j (1-p)^{n-j}
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
k : array_like
|
|||
|
|
Number of successes (double), rounded down to nearest integer.
|
|||
|
|
n : array_like
|
|||
|
|
Number of events (int)
|
|||
|
|
p : array_like
|
|||
|
|
Probability of success in a single event.
|
|||
|
|
out : ndarray, optional
|
|||
|
|
Optional output array for the function values
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
y : scalar or ndarray
|
|||
|
|
Probability of `floor(k) + 1` or more successes in `n` independent
|
|||
|
|
events with success probabilities of `p`.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
See Also
|
|||
|
|
--------
|
|||
|
|
bdtr
|
|||
|
|
betainc
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Notes
|
|||
|
|
-----
|
|||
|
|
The terms are not summed directly; instead the regularized incomplete beta
|
|||
|
|
function is employed, according to the formula,
|
|||
|
|
|
|||
|
|
.. math::
|
|||
|
|
\mathrm{bdtrc}(k, n, p) = I_{p}(\lfloor k \rfloor + 1, n - \lfloor k \rfloor).
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Wrapper for the Cephes [1]_ routine `bdtrc`.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
References
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
.. [1] Cephes Mathematical Functions Library,
|
|||
|
|
http://www.netlib.org/cephes/ bdtri(k, n, y, out=None)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Inverse function to `bdtr` with respect to `p`.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Finds the event probability `p` such that the sum of the terms 0 through
|
|||
|
|
`k` of the binomial probability density is equal to the given cumulative
|
|||
|
|
probability `y`.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
k : array_like
|
|||
|
|
Number of successes (float), rounded down to the nearest integer.
|
|||
|
|
n : array_like
|
|||
|
|
Number of events (float)
|
|||
|
|
y : array_like
|
|||
|
|
Cumulative probability (probability of `k` or fewer successes in `n`
|
|||
|
|
events).
|
|||
|
|
out : ndarray, optional
|
|||
|
|
Optional output array for the function values
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
p : scalar or ndarray
|
|||
|
|
The event probability such that `bdtr(\lfloor k \rfloor, n, p) = y`.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
See Also
|
|||
|
|
--------
|
|||
|
|
bdtr
|
|||
|
|
betaincinv
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Notes
|
|||
|
|
-----
|
|||
|
|
The computation is carried out using the inverse beta integral function
|
|||
|
|
and the relation,::
|
|||
|
|
|
|||
|
|
1 - p = betaincinv(n - k, k + 1, y).
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Wrapper for the Cephes [1]_ routine `bdtri`.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
References
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
.. [1] Cephes Mathematical Functions Library,
|
|||
|
|
http://www.netlib.org/cephes/ bdtrik(y, n, p, out=None)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Inverse function to `bdtr` with respect to `k`.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Finds the number of successes `k` such that the sum of the terms 0 through
|
|||
|
|
`k` of the Binomial probability density for `n` events with probability
|
|||
|
|
`p` is equal to the given cumulative probability `y`.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
y : array_like
|
|||
|
|
Cumulative probability (probability of `k` or fewer successes in `n`
|
|||
|
|
events).
|
|||
|
|
n : array_like
|
|||
|
|
Number of events (float).
|
|||
|
|
p : array_like
|
|||
|
|
Success probability (float).
|
|||
|
|
out : ndarray, optional
|
|||
|
|
Optional output array for the function values
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
k : scalar or ndarray
|
|||
|
|
The number of successes `k` such that `bdtr(k, n, p) = y`.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
See Also
|
|||
|
|
--------
|
|||
|
|
bdtr
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Notes
|
|||
|
|
-----
|
|||
|
|
Formula 26.5.24 of [1]_ (or equivalently [2]_) is used to reduce the binomial
|
|||
|
|
distribution to the cumulative incomplete beta distribution.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Computation of `k` involves a search for a value that produces the desired
|
|||
|
|
value of `y`. The search relies on the monotonicity of `y` with `k`.
|
|||
|
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Wrapper for the CDFLIB [3]_ Fortran routine `cdfbin`.
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References
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|
.. [1] Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds.
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|
|
Handbook of Mathematical Functions with Formulas,
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|
Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972.
|
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|
|
.. [2] NIST Digital Library of Mathematical Functions
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|
|
https://dlmf.nist.gov/8.17.5#E5
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|
|
.. [3] Barry Brown, James Lovato, and Kathy Russell,
|
|||
|
|
CDFLIB: Library of Fortran Routines for Cumulative Distribution
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|
Functions, Inverses, and Other Parameters. bdtrin(k, y, p, out=None)
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Inverse function to `bdtr` with respect to `n`.
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Finds the number of events `n` such that the sum of the terms 0 through
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`k` of the Binomial probability density for events with probability `p` is
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equal to the given cumulative probability `y`.
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Parameters
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----------
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k : array_like
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Number of successes (float).
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y : array_like
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Cumulative probability (probability of `k` or fewer successes in `n`
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events).
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p : array_like
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|
Success probability (float).
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out : ndarray, optional
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|
Optional output array for the function values
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Returns
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-------
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n : scalar or ndarray
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The number of events `n` such that `bdtr(k, n, p) = y`.
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See Also
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bdtr
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Notes
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Formula 26.5.24 of [1]_ (or equivalently [2]_) is used to reduce the binomial
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distribution to the cumulative incomplete beta distribution.
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|
Computation of `n` involves a search for a value that produces the desired
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|
value of `y`. The search relies on the monotonicity of `y` with `n`.
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|
|
Wrapper for the CDFLIB [3]_ Fortran routine `cdfbin`.
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References
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----------
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|
|
.. [1] Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds.
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|||
|
|
Handbook of Mathematical Functions with Formulas,
|
|||
|
|
Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972.
|
|||
|
|
.. [2] NIST Digital Library of Mathematical Functions
|
|||
|
|
https://dlmf.nist.gov/8.17.5#E5
|
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|
|
.. [3] Barry Brown, James Lovato, and Kathy Russell,
|
|||
|
|
CDFLIB: Library of Fortran Routines for Cumulative Distribution
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|
Functions, Inverses, and Other Parameters. betainc(a, b, x, out=None)
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|
Regularized incomplete beta function.
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Computes the regularized incomplete beta function, defined as [1]_:
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.. math::
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|
|
I_x(a, b) = \frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a)\Gamma(b)} \int_0^x
|
|||
|
|
t^{a-1}(1-t)^{b-1}dt,
|
|||
|
|
|
|||
|
|
for :math:`0 \leq x \leq 1`.
|
|||
|
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|
This function is the cumulative distribution function for the beta
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|
distribution; its range is [0, 1].
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|
Parameters
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----------
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|
a, b : array_like
|
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|
|
Positive, real-valued parameters
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|
|
x : array_like
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|
|
Real-valued such that :math:`0 \leq x \leq 1`,
|
|||
|
|
the upper limit of integration
|
|||
|
|
out : ndarray, optional
|
|||
|
|
Optional output array for the function values
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
scalar or ndarray
|
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|
|
Value of the regularized incomplete beta function
|
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|
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|
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|
See Also
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--------
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|
beta : beta function
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|
betaincinv : inverse of the regularized incomplete beta function
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|
betaincc : complement of the regularized incomplete beta function
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|
scipy.stats.beta : beta distribution
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|
Notes
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|
The term *regularized* in the name of this function refers to the
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scaling of the function by the gamma function terms shown in the
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formula. When not qualified as *regularized*, the name *incomplete
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|
|
beta function* often refers to just the integral expression,
|
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|
without the gamma terms. One can use the function `beta` from
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|
`scipy.special` to get this "nonregularized" incomplete beta
|
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|
function by multiplying the result of ``betainc(a, b, x)`` by
|
|||
|
|
``beta(a, b)``.
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|
|
|
|||
|
|
``betainc(a, b, x)`` is treated as a two parameter family of functions
|
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|
|
of a single variable `x`, rather than as a function of three variables.
|
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|
|
This impacts only the limiting cases ``a = 0``, ``b = 0``, ``a = inf``,
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``b = inf``.
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In general
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.. math::
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\lim_{(a, b) \rightarrow (a_0, b_0)} \mathrm{betainc}(a, b, x)
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|
|
is treated as a pointwise limit in ``x``. Thus for example,
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|
``betainc(0, b, 0)`` equals ``0`` for ``b > 0``, although it would be
|
|||
|
|
indeterminate when considering the simultaneous limit ``(a, x) -> (0+, 0+)``.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
This function wraps the ``ibeta`` routine from the
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|||
|
|
Boost Math C++ library [2]_.
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|
References
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|
|
.. [1] NIST Digital Library of Mathematical Functions
|
|||
|
|
https://dlmf.nist.gov/8.17
|
|||
|
|
.. [2] The Boost Developers. "Boost C++ Libraries". https://www.boost.org/.
|
|||
|
|
|
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|
|
Examples
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--------
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Let :math:`B(a, b)` be the `beta` function.
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>>> import scipy.special as sc
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The coefficient in terms of `gamma` is equal to
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|
:math:`1/B(a, b)`. Also, when :math:`x=1`
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|
|
the integral is equal to :math:`B(a, b)`.
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|
|
Therefore, :math:`I_{x=1}(a, b) = 1` for any :math:`a, b`.
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|
|
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|
>>> sc.betainc(0.2, 3.5, 1.0)
|
|||
|
|
1.0
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|
|
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|
|
It satisfies
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|
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:math:`I_x(a, b) = x^a F(a, 1-b, a+1, x)/ (aB(a, b))`,
|
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|
|
where :math:`F` is the hypergeometric function `hyp2f1`:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> a, b, x = 1.4, 3.1, 0.5
|
|||
|
|
>>> x**a * sc.hyp2f1(a, 1 - b, a + 1, x)/(a * sc.beta(a, b))
|
|||
|
|
0.8148904036225295
|
|||
|
|
>>> sc.betainc(a, b, x)
|
|||
|
|
0.8148904036225296
|
|||
|
|
|
|||
|
|
This functions satisfies the relationship
|
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|
|
:math:`I_x(a, b) = 1 - I_{1-x}(b, a)`:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> sc.betainc(2.2, 3.1, 0.4)
|
|||
|
|
0.49339638807619446
|
|||
|
|
>>> 1 - sc.betainc(3.1, 2.2, 1 - 0.4)
|
|||
|
|
0.49339638807619446 betaincc(a, b, x, out=None)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Complement of the regularized incomplete beta function.
|
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|
|
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|
Computes the complement of the regularized incomplete beta function,
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|
defined as [1]_:
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|
.. math::
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|||
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|
\bar{I}_x(a, b) = 1 - I_x(a, b)
|
|||
|
|
= 1 - \frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a)\Gamma(b)} \int_0^x
|
|||
|
|
t^{a-1}(1-t)^{b-1}dt,
|
|||
|
|
|
|||
|
|
for :math:`0 \leq x \leq 1`.
|
|||
|
|
|
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|
|
Parameters
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|
----------
|
|||
|
|
a, b : array_like
|
|||
|
|
Positive, real-valued parameters
|
|||
|
|
x : array_like
|
|||
|
|
Real-valued such that :math:`0 \leq x \leq 1`,
|
|||
|
|
the upper limit of integration
|
|||
|
|
out : ndarray, optional
|
|||
|
|
Optional output array for the function values
|
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|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
scalar or ndarray
|
|||
|
|
Value of the regularized incomplete beta function
|
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|
|
|
|||
|
|
See Also
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|
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--------
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|
|
betainc : regularized incomplete beta function
|
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|
|
betaincinv : inverse of the regularized incomplete beta function
|
|||
|
|
betainccinv :
|
|||
|
|
inverse of the complement of the regularized incomplete beta function
|
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|
|
beta : beta function
|
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|
|
scipy.stats.beta : beta distribution
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Notes
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|
|
-----
|
|||
|
|
.. versionadded:: 1.11.0
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Like `betainc`, ``betaincc(a, b, x)`` is treated as a two parameter
|
|||
|
|
family of functions of a single variable `x`, rather than as a function of
|
|||
|
|
three variables. See the `betainc` docstring for more info on how this
|
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|
|
impacts limiting cases.
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|
|
This function wraps the ``ibetac`` routine from the
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|
|
Boost Math C++ library [2]_.
|
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|
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|
|
References
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----------
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|
|
.. [1] NIST Digital Library of Mathematical Functions
|
|||
|
|
https://dlmf.nist.gov/8.17
|
|||
|
|
.. [2] The Boost Developers. "Boost C++ Libraries". https://www.boost.org/.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Examples
|
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|
|
--------
|
|||
|
|
>>> from scipy.special import betaincc, betainc
|
|||
|
|
|
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|
|
The naive calculation ``1 - betainc(a, b, x)`` loses precision when
|
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|
|
the values of ``betainc(a, b, x)`` are close to 1:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> 1 - betainc(0.5, 8, [0.9, 0.99, 0.999])
|
|||
|
|
array([2.0574632e-09, 0.0000000e+00, 0.0000000e+00])
|
|||
|
|
|
|||
|
|
By using ``betaincc``, we get the correct values:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> betaincc(0.5, 8, [0.9, 0.99, 0.999])
|
|||
|
|
array([2.05746321e-09, 1.97259354e-17, 1.96467954e-25]) betainccinv(a, b, y, out=None)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Inverse of the complemented regularized incomplete beta function.
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|
|
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|
Computes :math:`x` such that:
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|
|
.. math::
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|||
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|||
|
|
y = 1 - I_x(a, b) = 1 - \frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a)\Gamma(b)}
|
|||
|
|
\int_0^x t^{a-1}(1-t)^{b-1}dt,
|
|||
|
|
|
|||
|
|
where :math:`I_x` is the normalized incomplete beta function `betainc`
|
|||
|
|
and :math:`\Gamma` is the `gamma` function [1]_.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
a, b : array_like
|
|||
|
|
Positive, real-valued parameters
|
|||
|
|
y : array_like
|
|||
|
|
Real-valued input
|
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|
|
out : ndarray, optional
|
|||
|
|
Optional output array for function values
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
scalar or ndarray
|
|||
|
|
Value of the inverse of the regularized incomplete beta function
|
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|
|
|
|||
|
|
See Also
|
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|
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--------
|
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|
|
betainc : regularized incomplete beta function
|
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|
|
betaincc : complement of the regularized incomplete beta function
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Notes
|
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|
|
-----
|
|||
|
|
.. versionadded:: 1.11.0
|
|||
|
|
|
|||
|
|
This function wraps the ``ibetac_inv`` routine from the
|
|||
|
|
Boost Math C++ library [2]_.
|
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|
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|
References
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
.. [1] NIST Digital Library of Mathematical Functions
|
|||
|
|
https://dlmf.nist.gov/8.17
|
|||
|
|
.. [2] The Boost Developers. "Boost C++ Libraries". https://www.boost.org/.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Examples
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|||
|
|
--------
|
|||
|
|
>>> from scipy.special import betainccinv, betaincc
|
|||
|
|
|
|||
|
|
This function is the inverse of `betaincc` for fixed
|
|||
|
|
values of :math:`a` and :math:`b`.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> a, b = 1.2, 3.1
|
|||
|
|
>>> y = betaincc(a, b, 0.2)
|
|||
|
|
>>> betainccinv(a, b, y)
|
|||
|
|
0.2
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> a, b = 7, 2.5
|
|||
|
|
>>> x = betainccinv(a, b, 0.875)
|
|||
|
|
>>> betaincc(a, b, x)
|
|||
|
|
0.875 betaincinv(a, b, y, out=None)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Inverse of the regularized incomplete beta function.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Computes :math:`x` such that:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
.. math::
|
|||
|
|
|
|||
|
|
y = I_x(a, b) = \frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a)\Gamma(b)}
|
|||
|
|
\int_0^x t^{a-1}(1-t)^{b-1}dt,
|
|||
|
|
|
|||
|
|
where :math:`I_x` is the normalized incomplete beta function `betainc`
|
|||
|
|
and :math:`\Gamma` is the `gamma` function [1]_.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
a, b : array_like
|
|||
|
|
Positive, real-valued parameters
|
|||
|
|
y : array_like
|
|||
|
|
Real-valued input
|
|||
|
|
out : ndarray, optional
|
|||
|
|
Optional output array for function values
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
scalar or ndarray
|
|||
|
|
Value of the inverse of the regularized incomplete beta function
|
|||
|
|
|
|||
|
|
See Also
|
|||
|
|
--------
|
|||
|
|
betainc : regularized incomplete beta function
|
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|
|
gamma : gamma function
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Notes
|
|||
|
|
-----
|
|||
|
|
This function wraps the ``ibeta_inv`` routine from the
|
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|
|
Boost Math C++ library [2]_.
|
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|
|
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|
References
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|
.. [1] NIST Digital Library of Mathematical Functions
|
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|
https://dlmf.nist.gov/8.17
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|
.. [2] The Boost Developers. "Boost C++ Libraries". https://www.boost.org/.
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|
|
Examples
|
|||
|
|
--------
|
|||
|
|
>>> import scipy.special as sc
|
|||
|
|
|
|||
|
|
This function is the inverse of `betainc` for fixed
|
|||
|
|
values of :math:`a` and :math:`b`.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> a, b = 1.2, 3.1
|
|||
|
|
>>> y = sc.betainc(a, b, 0.2)
|
|||
|
|
>>> sc.betaincinv(a, b, y)
|
|||
|
|
0.2
|
|||
|
|
>>>
|
|||
|
|
>>> a, b = 7.5, 0.4
|
|||
|
|
>>> x = sc.betaincinv(a, b, 0.5)
|
|||
|
|
>>> sc.betainc(a, b, x)
|
|||
|
|
0.5 boxcox(x, lmbda, out=None)
|
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|
|
|
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|
|
Compute the Box-Cox transformation.
|
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|
|
|
|||
|
|
The Box-Cox transformation is::
|
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|
|
|
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|
|
y = (x**lmbda - 1) / lmbda if lmbda != 0
|
|||
|
|
log(x) if lmbda == 0
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns `nan` if ``x < 0``.
|
|||
|
|
Returns `-inf` if ``x == 0`` and ``lmbda < 0``.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
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|
|
x : array_like
|
|||
|
|
Data to be transformed.
|
|||
|
|
lmbda : array_like
|
|||
|
|
Power parameter of the Box-Cox transform.
|
|||
|
|
out : ndarray, optional
|
|||
|
|
Optional output array for the function values
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|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
y : scalar or ndarray
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|
Transformed data.
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|
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|
|
Notes
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-----
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|
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.. versionadded:: 0.14.0
|
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|
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|
Examples
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|
|
--------
|
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|
|
>>> from scipy.special import boxcox
|
|||
|
|
>>> boxcox([1, 4, 10], 2.5)
|
|||
|
|
array([ 0. , 12.4 , 126.09110641])
|
|||
|
|
>>> boxcox(2, [0, 1, 2])
|
|||
|
|
array([ 0.69314718, 1. , 1.5 ]) boxcox1p(x, lmbda, out=None)
|
|||
|
|
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|||
|
|
Compute the Box-Cox transformation of 1 + `x`.
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|
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|
|
The Box-Cox transformation computed by `boxcox1p` is::
|
|||
|
|
|
|||
|
|
y = ((1+x)**lmbda - 1) / lmbda if lmbda != 0
|
|||
|
|
log(1+x) if lmbda == 0
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns `nan` if ``x < -1``.
|
|||
|
|
Returns `-inf` if ``x == -1`` and ``lmbda < 0``.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
x : array_like
|
|||
|
|
Data to be transformed.
|
|||
|
|
lmbda : array_like
|
|||
|
|
Power parameter of the Box-Cox transform.
|
|||
|
|
out : ndarray, optional
|
|||
|
|
Optional output array for the function values
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
y : scalar or ndarray
|
|||
|
|
Transformed data.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Notes
|
|||
|
|
-----
|
|||
|
|
|
|||
|
|
.. versionadded:: 0.14.0
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Examples
|
|||
|
|
--------
|
|||
|
|
>>> from scipy.special import boxcox1p
|
|||
|
|
>>> boxcox1p(1e-4, [0, 0.5, 1])
|
|||
|
|
array([ 9.99950003e-05, 9.99975001e-05, 1.00000000e-04])
|
|||
|
|
>>> boxcox1p([0.01, 0.1], 0.25)
|
|||
|
|
array([ 0.00996272, 0.09645476]) btdtria(p, b, x, out=None)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Inverse of `betainc` with respect to `a`.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
This is the inverse of the beta cumulative distribution function, `betainc`,
|
|||
|
|
considered as a function of `a`, returning the value of `a` for which
|
|||
|
|
`betainc(a, b, x) = p`, or
|
|||
|
|
|
|||
|
|
.. math::
|
|||
|
|
p = \int_0^x \frac{\Gamma(a + b)}{\Gamma(a)\Gamma(b)} t^{a-1} (1-t)^{b-1}\,dt
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
p : array_like
|
|||
|
|
Cumulative probability, in [0, 1].
|
|||
|
|
b : array_like
|
|||
|
|
Shape parameter (`b` > 0).
|
|||
|
|
x : array_like
|
|||
|
|
The quantile, in [0, 1].
|
|||
|
|
out : ndarray, optional
|
|||
|
|
Optional output array for the function values
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
a : scalar or ndarray
|
|||
|
|
The value of the shape parameter `a` such that `betainc(a, b, x) = p`.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
See Also
|
|||
|
|
--------
|
|||
|
|
betainc : Regularized incomplete beta function
|
|||
|
|
betaincinv : Inverse of the regularized incomplete beta function
|
|||
|
|
btdtrib : Inverse of the beta cumulative distribution function, with respect to `b`.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Notes
|
|||
|
|
-----
|
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|
|
This function wraps the ``ibeta_inva`` routine from the
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|
|
Boost Math C++ library [1]_.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
References
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
.. [1] The Boost Developers. "Boost C++ Libraries". https://www.boost.org/.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Examples
|
|||
|
|
--------
|
|||
|
|
>>> import scipy.special as sc
|
|||
|
|
|
|||
|
|
This function is the inverse of `betainc` for fixed
|
|||
|
|
values of :math:`b` and :math:`x`.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> a, b, x = 1.2, 3.1, 0.2
|
|||
|
|
>>> y = sc.betainc(a, b, x)
|
|||
|
|
>>> sc.btdtria(y, b, x)
|
|||
|
|
1.2 btdtria(a, p, x, out=None)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Inverse of `betainc` with respect to `b`.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
This is the inverse of the beta cumulative distribution function, `betainc`,
|
|||
|
|
considered as a function of `b`, returning the value of `b` for which
|
|||
|
|
`betainc(a, b, x) = p`, or
|
|||
|
|
|
|||
|
|
.. math::
|
|||
|
|
p = \int_0^x \frac{\Gamma(a + b)}{\Gamma(a)\Gamma(b)} t^{a-1} (1-t)^{b-1}\,dt
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
a : array_like
|
|||
|
|
Shape parameter (`a` > 0).
|
|||
|
|
p : array_like
|
|||
|
|
Cumulative probability, in [0, 1].
|
|||
|
|
x : array_like
|
|||
|
|
The quantile, in [0, 1].
|
|||
|
|
out : ndarray, optional
|
|||
|
|
Optional output array for the function values
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
b : scalar or ndarray
|
|||
|
|
The value of the shape parameter `b` such that `betainc(a, b, x) = p`.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
See Also
|
|||
|
|
--------
|
|||
|
|
betainc : Regularized incomplete beta function
|
|||
|
|
betaincinv : Inverse of the regularized incomplete beta function with
|
|||
|
|
respect to `x`.
|
|||
|
|
btdtria : Inverse of the beta cumulative distribution function, with respect to `a`.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Notes
|
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|
|
-----
|
|||
|
|
Wrapper for the `ibeta_invb` routine from the Boost Math C++ library [1]_.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
References
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
.. [1] The Boost Developers. "Boost C++ Libraries". https://www.boost.org/.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Examples
|
|||
|
|
--------
|
|||
|
|
>>> import scipy.special as sc
|
|||
|
|
>>> a, b, x = 1.2, 3.1, 0.2
|
|||
|
|
>>> y = sc.betainc(a, b, x)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
`btdtrib` is the inverse of `betainc` for fixed values of :math:`a` and
|
|||
|
|
:math:`x`:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> sc.btdtrib(a, y, x)
|
|||
|
|
3.1 chdtr(v, x, out=None)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Chi square cumulative distribution function.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns the area under the left tail (from 0 to `x`) of the Chi
|
|||
|
|
square probability density function with `v` degrees of freedom:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
.. math::
|
|||
|
|
|
|||
|
|
\frac{1}{2^{v/2} \Gamma(v/2)} \int_0^x t^{v/2 - 1} e^{-t/2} dt
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Here :math:`\Gamma` is the Gamma function; see `gamma`. This
|
|||
|
|
integral can be expressed in terms of the regularized lower
|
|||
|
|
incomplete gamma function `gammainc` as
|
|||
|
|
``gammainc(v / 2, x / 2)``. [1]_
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
v : array_like
|
|||
|
|
Degrees of freedom.
|
|||
|
|
x : array_like
|
|||
|
|
Upper bound of the integral.
|
|||
|
|
out : ndarray, optional
|
|||
|
|
Optional output array for the function results.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
scalar or ndarray
|
|||
|
|
Values of the cumulative distribution function.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
See Also
|
|||
|
|
--------
|
|||
|
|
chdtrc, chdtri, chdtriv, gammainc
|
|||
|
|
|
|||
|
|
References
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
.. [1] Chi-Square distribution,
|
|||
|
|
https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda3666.htm
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Examples
|
|||
|
|
--------
|
|||
|
|
>>> import numpy as np
|
|||
|
|
>>> import scipy.special as sc
|
|||
|
|
|
|||
|
|
It can be expressed in terms of the regularized lower incomplete
|
|||
|
|
gamma function.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> v = 1
|
|||
|
|
>>> x = np.arange(4)
|
|||
|
|
>>> sc.chdtr(v, x)
|
|||
|
|
array([0. , 0.68268949, 0.84270079, 0.91673548])
|
|||
|
|
>>> sc.gammainc(v / 2, x / 2)
|
|||
|
|
array([0. , 0.68268949, 0.84270079, 0.91673548]) chdtrc(v, x, out=None)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Chi square survival function.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns the area under the right hand tail (from `x` to infinity)
|
|||
|
|
of the Chi square probability density function with `v` degrees of
|
|||
|
|
freedom:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
.. math::
|
|||
|
|
|
|||
|
|
\frac{1}{2^{v/2} \Gamma(v/2)} \int_x^\infty t^{v/2 - 1} e^{-t/2} dt
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Here :math:`\Gamma` is the Gamma function; see `gamma`. This
|
|||
|
|
integral can be expressed in terms of the regularized upper
|
|||
|
|
incomplete gamma function `gammaincc` as
|
|||
|
|
``gammaincc(v / 2, x / 2)``. [1]_
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
v : array_like
|
|||
|
|
Degrees of freedom.
|
|||
|
|
x : array_like
|
|||
|
|
Lower bound of the integral.
|
|||
|
|
out : ndarray, optional
|
|||
|
|
Optional output array for the function results.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
scalar or ndarray
|
|||
|
|
Values of the survival function.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
See Also
|
|||
|
|
--------
|
|||
|
|
chdtr, chdtri, chdtriv, gammaincc
|
|||
|
|
|
|||
|
|
References
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
.. [1] Chi-Square distribution,
|
|||
|
|
https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda3666.htm
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Examples
|
|||
|
|
--------
|
|||
|
|
>>> import numpy as np
|
|||
|
|
>>> import scipy.special as sc
|
|||
|
|
|
|||
|
|
It can be expressed in terms of the regularized upper incomplete
|
|||
|
|
gamma function.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> v = 1
|
|||
|
|
>>> x = np.arange(4)
|
|||
|
|
>>> sc.chdtrc(v, x)
|
|||
|
|
array([1. , 0.31731051, 0.15729921, 0.08326452])
|
|||
|
|
>>> sc.gammaincc(v / 2, x / 2)
|
|||
|
|
array([1. , 0.31731051, 0.15729921, 0.08326452]) chdtri(v, p, out=None)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Inverse to `chdtrc` with respect to `x`.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns `x` such that ``chdtrc(v, x) == p``.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
v : array_like
|
|||
|
|
Degrees of freedom.
|
|||
|
|
p : array_like
|
|||
|
|
Probability.
|
|||
|
|
out : ndarray, optional
|
|||
|
|
Optional output array for the function results.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
x : scalar or ndarray
|
|||
|
|
Value so that the probability a Chi square random variable
|
|||
|
|
with `v` degrees of freedom is greater than `x` equals `p`.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
See Also
|
|||
|
|
--------
|
|||
|
|
chdtrc, chdtr, chdtriv
|
|||
|
|
|
|||
|
|
References
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
.. [1] Chi-Square distribution,
|
|||
|
|
https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda3666.htm
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Examples
|
|||
|
|
--------
|
|||
|
|
>>> import scipy.special as sc
|
|||
|
|
|
|||
|
|
It inverts `chdtrc`.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> v, p = 1, 0.3
|
|||
|
|
>>> sc.chdtrc(v, sc.chdtri(v, p))
|
|||
|
|
0.3
|
|||
|
|
>>> x = 1
|
|||
|
|
>>> sc.chdtri(v, sc.chdtrc(v, x))
|
|||
|
|
1.0 chdtriv(p, x, out=None)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Inverse to `chdtr` with respect to `v`.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns `v` such that ``chdtr(v, x) == p``.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
p : array_like
|
|||
|
|
Probability that the Chi square random variable is less than
|
|||
|
|
or equal to `x`.
|
|||
|
|
x : array_like
|
|||
|
|
Nonnegative input.
|
|||
|
|
out : ndarray, optional
|
|||
|
|
Optional output array for the function results.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
scalar or ndarray
|
|||
|
|
Degrees of freedom.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
See Also
|
|||
|
|
--------
|
|||
|
|
chdtr, chdtrc, chdtri
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Notes
|
|||
|
|
-----
|
|||
|
|
This function wraps routines from the Boost Math C++ library [1]_.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
References
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
.. [1] The Boost Developers. "Boost C++ Libraries". https://www.boost.org/.
|
|||
|
|
.. [2] Chi-Square distribution,
|
|||
|
|
https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda3666.htm
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Examples
|
|||
|
|
--------
|
|||
|
|
>>> import scipy.special as sc
|
|||
|
|
|
|||
|
|
It inverts `chdtr`.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> p, x = 0.5, 1
|
|||
|
|
>>> sc.chdtr(sc.chdtriv(p, x), x)
|
|||
|
|
0.5000000000000003
|
|||
|
|
>>> v = 1
|
|||
|
|
>>> sc.chdtriv(sc.chdtr(v, x), v)
|
|||
|
|
1.0 chndtr(x, df, nc, out=None)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Non-central chi square cumulative distribution function
|
|||
|
|
|
|||
|
|
The cumulative distribution function is given by:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
.. math::
|
|||
|
|
|
|||
|
|
P(\chi^{\prime 2} \vert \nu, \lambda) =\sum_{j=0}^{\infty}
|
|||
|
|
e^{-\lambda /2}
|
|||
|
|
\frac{(\lambda /2)^j}{j!} P(\chi^{\prime 2} \vert \nu + 2j),
|
|||
|
|
|
|||
|
|
where :math:`\nu > 0` is the degrees of freedom (``df``) and
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:math:`\lambda \geq 0` is the non-centrality parameter (``nc``).
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Parameters
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x : array_like
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Upper bound of the integral; must satisfy ``x >= 0``
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df : array_like
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|
Degrees of freedom; must satisfy ``df > 0``
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nc : array_like
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|||
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|
Non-centrality parameter; must satisfy ``nc >= 0``
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|
out : ndarray, optional
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Optional output array for the function results
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Returns
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-------
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x : scalar or ndarray
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Value of the non-central chi square cumulative distribution function.
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See Also
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chndtrix: Noncentral Chi Squared distribution quantile
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chndtridf: Inverse of `chndtr` with respect to `df`
|
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|
|
chndtrinc: Inverse of `chndtr` with respect to `nc`
|
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|
|
scipy.stats.ncx2: Non-central chi-squared distribution
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Notes
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|
The noncentral chi squared distribution is also available in
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|
`scipy.stats.ncx2`. ``scipy.stats.ncx2.cdf`` is equivalent to `chndtr`.
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This function wraps routines from the Boost Math C++ library [1]_.
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References
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.. [1] The Boost Developers. "Boost C++ Libraries". https://www.boost.org/.
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Examples
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>>> import numpy as np
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>>> import scipy.special as sc
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Compute the noncentral chi squared distribution CDF at one point.
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>>> x = 4.0
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>>> df = 1.0
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>>> nc = 5.0
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|
>>> sc.chndtr(x, df, nc)
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0.40667858759710945
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Plot the noncentral chi squared distribution CDF for different parameters.
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>>> import matplotlib.pyplot as plt
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>>> x = np.linspace(0, 40, 1000)
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|
>>> plt.plot(x, sc.chndtr(x, 1, 5), label=r"$df=1,\ nc=5$")
|
|||
|
|
>>> plt.plot(x, sc.chndtr(x, 5, 10), label=r"$df=5,\ nc=10$")
|
|||
|
|
>>> plt.legend()
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|
|
>>> plt.show() chndtridf(x, p, nc, out=None)
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|
Inverse to `chndtr` vs `df`
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|
Calculated using a search to find a value for `df` that produces the
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desired value of `p`.
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Parameters
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x : array_like
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Upper bound of the integral; must satisfy ``x >= 0``
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|
|
p : array_like
|
|||
|
|
Probability; must satisfy ``0 <= p < 1``
|
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|
|
nc : array_like
|
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|
|
Non-centrality parameter; must satisfy ``nc >= 0``
|
|||
|
|
out : ndarray, optional
|
|||
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|
Optional output array for the function results
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|
|
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|
|
Returns
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-------
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|
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df : scalar or ndarray
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Degrees of freedom
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See Also
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chndtr : Noncentral chi-squared distribution CDF
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|
chndtrix : inverse of `chndtr` with respect to `x`
|
|||
|
|
chndtrinc : inverse of `chndtr` with respect to `nc`
|
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|
|
scipy.stats.ncx2 : Non-central chi-squared distribution
|
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Notes
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The noncentral chi squared distribution is also available in
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|
`scipy.stats.ncx2`.
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|
This function wraps routines from the Boost Math C++ library [1]_.
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|
References
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|
.. [1] The Boost Developers. "Boost C++ Libraries". https://www.boost.org/.
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Examples
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--------
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|
|
>>> from scipy.special import chndtridf, chndtr
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|
Compute the noncentral chi squared distribution CDF at one point.
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|||
|
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>>> x, df, nc = 3, 5, 10
|
|||
|
|
>>> p = chndtr(x, df, nc)
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|
|
`chndtridf` is the inverse of `chndtr` with respect to `df`:
|
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|
>>> chndtridf(x, p, nc)
|
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|
5.0 chndtrinc(x, df, p, out=None)
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|
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|||
|
|
Inverse to `chndtr` vs `nc`
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|||
|
|
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|||
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|
Calculated using a search to find a value for `df` that produces the
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|||
|
|
desired value of `p`.
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|
|
Parameters
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----------
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|
|
x : array_like
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|
Upper bound of the integral; must satisfy ``x >= 0``
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|
|
df : array_like
|
|||
|
|
Degrees of freedom; must satisfy ``df > 0``
|
|||
|
|
p : array_like
|
|||
|
|
Probability; must satisfy ``0 <= p < 1``
|
|||
|
|
out : ndarray, optional
|
|||
|
|
Optional output array for the function results
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|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
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|||
|
|
-------
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|
|
nc : scalar or ndarray
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|
Non-centrality
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|
See Also
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--------
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|
|
chndtr : Noncentral chi-squared distribution CDF
|
|||
|
|
chndtridf : inverse of `chndtr` with respect to `df`
|
|||
|
|
chndtrinc : inverse of `chndtr` with respect to `nc`
|
|||
|
|
scipy.stats.ncx2 : Non-central chi-squared distribution
|
|||
|
|
|
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|
Notes
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|
The noncentral chi squared distribution is also available in
|
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|
`scipy.stats.ncx2`.
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|
|
This function wraps routines from the Boost Math C++ library [1]_.
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|
References
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----------
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|
|
.. [1] The Boost Developers. "Boost C++ Libraries". https://www.boost.org/.
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|
Examples
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|
|
--------
|
|||
|
|
>>> from scipy.special import chndtrinc, chndtr
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Compute the noncentral chi squared distribution CDF at one point.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> x, df, nc = 3, 5, 10
|
|||
|
|
>>> p = chndtr(x, df, nc)
|
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|||
|
|
`chndtrinc` is the inverse of `chndtr` with respect to `nc`:
|
|||
|
|
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|
|
>>> chndtrinc(x, df, p)
|
|||
|
|
10.0 chndtrix(p, df, nc, out=None)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Inverse to `chndtr` vs `x`
|
|||
|
|
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|||
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|
Calculated using a search to find a value for `x` that produces the
|
|||
|
|
desired value of `p`.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
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|||
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----------
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|
|
p : array_like
|
|||
|
|
Probability; must satisfy ``0 <= p < 1``
|
|||
|
|
df : array_like
|
|||
|
|
Degrees of freedom; must satisfy ``df > 0``
|
|||
|
|
nc : array_like
|
|||
|
|
Non-centrality parameter; must satisfy ``nc >= 0``
|
|||
|
|
out : ndarray, optional
|
|||
|
|
Optional output array for the function results
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
x : scalar or ndarray
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|
Value so that the probability a non-central Chi square random variable
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|
|
with `df` degrees of freedom and non-centrality, `nc`, is greater than
|
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|
`x` equals `p`.
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|||
|
|
|
|||
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|
See Also
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|
|
--------
|
|||
|
|
chndtr : Noncentral chi-squared distribution CDF
|
|||
|
|
chndtridf : inverse of `chndtr` with respect to `cdf`
|
|||
|
|
chndtrinc : inverse of `chndtr` with respect to `nc`
|
|||
|
|
scipy.stats.ncx2 : Non-central chi-squared distribution
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Notes
|
|||
|
|
-----
|
|||
|
|
The noncentral chi squared distribution is also available in
|
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|
|
`scipy.stats.ncx2`. ``scipy.stats.ncx2.ppf`` is equivalent to `chndtrix`.
|
|||
|
|
|
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|
|
This function wraps routines from the Boost Math C++ library [1]_.
|
|||
|
|
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|
References
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|
----------
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|
|
.. [1] The Boost Developers. "Boost C++ Libraries". https://www.boost.org/.
|
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|
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|
|
Examples
|
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|
|
--------
|
|||
|
|
>>> from scipy.special import chndtrix, chndtr
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Compute the noncentral chi squared distribution CDF at one point.
|
|||
|
|
>>> x, df, nc = 3, 5, 10
|
|||
|
|
>>> p = chndtr(x, df, nc)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
`chndtrix` is the inverse of `chndtr` with respect to `x`:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> chndtrix(p, df, nc)
|
|||
|
|
3.0 elliprc(x, y, out=None)
|
|||
|
|
|
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|
|
Degenerate symmetric elliptic integral.
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The function RC is defined as [1]_
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|
.. math::
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|||
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|
R_{\mathrm{C}}(x, y) =
|
|||
|
|
\frac{1}{2} \int_0^{+\infty} (t + x)^{-1/2} (t + y)^{-1} dt
|
|||
|
|
= R_{\mathrm{F}}(x, y, y)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
x, y : array_like
|
|||
|
|
Real or complex input parameters. `x` can be any number in the
|
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|
|
complex plane cut along the negative real axis. `y` must be non-zero.
|
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|
|
out : ndarray, optional
|
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|
Optional output array for the function values
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
R : scalar or ndarray
|
|||
|
|
Value of the integral. If `y` is real and negative, the Cauchy
|
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|
|
principal value is returned. If both of `x` and `y` are real, the
|
|||
|
|
return value is real. Otherwise, the return value is complex.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
See Also
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|
|
--------
|
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|
|
elliprf : Completely-symmetric elliptic integral of the first kind.
|
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|
|
elliprd : Symmetric elliptic integral of the second kind.
|
|||
|
|
elliprg : Completely-symmetric elliptic integral of the second kind.
|
|||
|
|
elliprj : Symmetric elliptic integral of the third kind.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Notes
|
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-----
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|
|
RC is a degenerate case of the symmetric integral RF: ``elliprc(x, y) ==
|
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|
elliprf(x, y, y)``. It is an elementary function rather than an elliptic
|
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|
|
integral.
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|||
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|
|
The code implements Carlson's algorithm based on the duplication theorems
|
|||
|
|
and series expansion up to the 7th order. [2]_
|
|||
|
|
|
|||
|
|
.. versionadded:: 1.8.0
|
|||
|
|
|
|||
|
|
References
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|
|
----------
|
|||
|
|
.. [1] B. C. Carlson, ed., Chapter 19 in "Digital Library of Mathematical
|
|||
|
|
Functions," NIST, US Dept. of Commerce.
|
|||
|
|
https://dlmf.nist.gov/19.16.E6
|
|||
|
|
.. [2] B. C. Carlson, "Numerical computation of real or complex elliptic
|
|||
|
|
integrals," Numer. Algorithm, vol. 10, no. 1, pp. 13-26, 1995.
|
|||
|
|
https://arxiv.org/abs/math/9409227
|
|||
|
|
https://doi.org/10.1007/BF02198293
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Examples
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|||
|
|
--------
|
|||
|
|
Basic homogeneity property:
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|
>>> import numpy as np
|
|||
|
|
>>> from scipy.special import elliprc
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> x = 1.2 + 3.4j
|
|||
|
|
>>> y = 5.
|
|||
|
|
>>> scale = 0.3 + 0.4j
|
|||
|
|
>>> elliprc(scale*x, scale*y)
|
|||
|
|
(0.5484493976710874-0.4169557678995833j)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> elliprc(x, y)/np.sqrt(scale)
|
|||
|
|
(0.5484493976710874-0.41695576789958333j)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
When the two arguments coincide, the integral is particularly
|
|||
|
|
simple:
|
|||
|
|
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|||
|
|
>>> x = 1.2 + 3.4j
|
|||
|
|
>>> elliprc(x, x)
|
|||
|
|
(0.4299173120614631-0.3041729818745595j)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> 1/np.sqrt(x)
|
|||
|
|
(0.4299173120614631-0.30417298187455954j)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Another simple case: the first argument vanishes:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> y = 1.2 + 3.4j
|
|||
|
|
>>> elliprc(0, y)
|
|||
|
|
(0.6753125346116815-0.47779380263880866j)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> np.pi/2/np.sqrt(y)
|
|||
|
|
(0.6753125346116815-0.4777938026388088j)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
When `x` and `y` are both positive, we can express
|
|||
|
|
:math:`R_C(x,y)` in terms of more elementary functions. For the
|
|||
|
|
case :math:`0 \le x < y`,
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> x = 3.2
|
|||
|
|
>>> y = 6.
|
|||
|
|
>>> elliprc(x, y)
|
|||
|
|
0.44942991498453444
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> np.arctan(np.sqrt((y-x)/x))/np.sqrt(y-x)
|
|||
|
|
0.44942991498453433
|
|||
|
|
|
|||
|
|
And for the case :math:`0 \le y < x`,
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> x = 6.
|
|||
|
|
>>> y = 3.2
|
|||
|
|
>>> elliprc(x,y)
|
|||
|
|
0.4989837501576147
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> np.log((np.sqrt(x)+np.sqrt(x-y))/np.sqrt(y))/np.sqrt(x-y)
|
|||
|
|
0.49898375015761476 elliprd(x, y, z, out=None)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Symmetric elliptic integral of the second kind.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
The function RD is defined as [1]_
|
|||
|
|
|
|||
|
|
.. math::
|
|||
|
|
|
|||
|
|
R_{\mathrm{D}}(x, y, z) =
|
|||
|
|
\frac{3}{2} \int_0^{+\infty} [(t + x) (t + y)]^{-1/2} (t + z)^{-3/2}
|
|||
|
|
dt
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
x, y, z : array_like
|
|||
|
|
Real or complex input parameters. `x` or `y` can be any number in the
|
|||
|
|
complex plane cut along the negative real axis, but at most one of them
|
|||
|
|
can be zero, while `z` must be non-zero.
|
|||
|
|
out : ndarray, optional
|
|||
|
|
Optional output array for the function values
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
R : scalar or ndarray
|
|||
|
|
Value of the integral. If all of `x`, `y`, and `z` are real, the
|
|||
|
|
return value is real. Otherwise, the return value is complex.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
See Also
|
|||
|
|
--------
|
|||
|
|
elliprc : Degenerate symmetric elliptic integral.
|
|||
|
|
elliprf : Completely-symmetric elliptic integral of the first kind.
|
|||
|
|
elliprg : Completely-symmetric elliptic integral of the second kind.
|
|||
|
|
elliprj : Symmetric elliptic integral of the third kind.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Notes
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RD is a degenerate case of the elliptic integral RJ: ``elliprd(x, y, z) ==
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elliprj(x, y, z, z)``.
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|||
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|
The code implements Carlson's algorithm based on the duplication theorems
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|||
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and series expansion up to the 7th order. [2]_
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.. versionadded:: 1.8.0
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References
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.. [1] B. C. Carlson, ed., Chapter 19 in "Digital Library of Mathematical
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|
Functions," NIST, US Dept. of Commerce.
|
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|
|
https://dlmf.nist.gov/19.16.E5
|
|||
|
|
.. [2] B. C. Carlson, "Numerical computation of real or complex elliptic
|
|||
|
|
integrals," Numer. Algorithm, vol. 10, no. 1, pp. 13-26, 1995.
|
|||
|
|
https://arxiv.org/abs/math/9409227
|
|||
|
|
https://doi.org/10.1007/BF02198293
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Examples
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--------
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Basic homogeneity property:
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>>> import numpy as np
|
|||
|
|
>>> from scipy.special import elliprd
|
|||
|
|
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|||
|
|
>>> x = 1.2 + 3.4j
|
|||
|
|
>>> y = 5.
|
|||
|
|
>>> z = 6.
|
|||
|
|
>>> scale = 0.3 + 0.4j
|
|||
|
|
>>> elliprd(scale*x, scale*y, scale*z)
|
|||
|
|
(-0.03703043835680379-0.24500934665683802j)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> elliprd(x, y, z)*np.power(scale, -1.5)
|
|||
|
|
(-0.0370304383568038-0.24500934665683805j)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
All three arguments coincide:
|
|||
|
|
|
|||
|
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>>> x = 1.2 + 3.4j
|
|||
|
|
>>> elliprd(x, x, x)
|
|||
|
|
(-0.03986825876151896-0.14051741840449586j)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> np.power(x, -1.5)
|
|||
|
|
(-0.03986825876151894-0.14051741840449583j)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
The so-called "second lemniscate constant":
|
|||
|
|
|
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|
|
>>> elliprd(0, 2, 1)/3
|
|||
|
|
0.5990701173677961
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> from scipy.special import gamma
|
|||
|
|
>>> gamma(0.75)**2/np.sqrt(2*np.pi)
|
|||
|
|
0.5990701173677959 elliprf(x, y, z, out=None)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Completely-symmetric elliptic integral of the first kind.
|
|||
|
|
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|
The function RF is defined as [1]_
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|
|
|
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|
.. math::
|
|||
|
|
|
|||
|
|
R_{\mathrm{F}}(x, y, z) =
|
|||
|
|
\frac{1}{2} \int_0^{+\infty} [(t + x) (t + y) (t + z)]^{-1/2} dt
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
x, y, z : array_like
|
|||
|
|
Real or complex input parameters. `x`, `y`, or `z` can be any number in
|
|||
|
|
the complex plane cut along the negative real axis, but at most one of
|
|||
|
|
them can be zero.
|
|||
|
|
out : ndarray, optional
|
|||
|
|
Optional output array for the function values
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
R : scalar or ndarray
|
|||
|
|
Value of the integral. If all of `x`, `y`, and `z` are real, the return
|
|||
|
|
value is real. Otherwise, the return value is complex.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
See Also
|
|||
|
|
--------
|
|||
|
|
elliprc : Degenerate symmetric integral.
|
|||
|
|
elliprd : Symmetric elliptic integral of the second kind.
|
|||
|
|
elliprg : Completely-symmetric elliptic integral of the second kind.
|
|||
|
|
elliprj : Symmetric elliptic integral of the third kind.
|
|||
|
|
|
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|
|
Notes
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|
|
The code implements Carlson's algorithm based on the duplication theorems
|
|||
|
|
and series expansion up to the 7th order (cf.:
|
|||
|
|
https://dlmf.nist.gov/19.36.i) and the AGM algorithm for the complete
|
|||
|
|
integral. [2]_
|
|||
|
|
|
|||
|
|
.. versionadded:: 1.8.0
|
|||
|
|
|
|||
|
|
References
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
.. [1] B. C. Carlson, ed., Chapter 19 in "Digital Library of Mathematical
|
|||
|
|
Functions," NIST, US Dept. of Commerce.
|
|||
|
|
https://dlmf.nist.gov/19.16.E1
|
|||
|
|
.. [2] B. C. Carlson, "Numerical computation of real or complex elliptic
|
|||
|
|
integrals," Numer. Algorithm, vol. 10, no. 1, pp. 13-26, 1995.
|
|||
|
|
https://arxiv.org/abs/math/9409227
|
|||
|
|
https://doi.org/10.1007/BF02198293
|
|||
|
|
|
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|
|
Examples
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|||
|
|
--------
|
|||
|
|
Basic homogeneity property:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> import numpy as np
|
|||
|
|
>>> from scipy.special import elliprf
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> x = 1.2 + 3.4j
|
|||
|
|
>>> y = 5.
|
|||
|
|
>>> z = 6.
|
|||
|
|
>>> scale = 0.3 + 0.4j
|
|||
|
|
>>> elliprf(scale*x, scale*y, scale*z)
|
|||
|
|
(0.5328051227278146-0.4008623567957094j)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> elliprf(x, y, z)/np.sqrt(scale)
|
|||
|
|
(0.5328051227278147-0.4008623567957095j)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
All three arguments coincide:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> x = 1.2 + 3.4j
|
|||
|
|
>>> elliprf(x, x, x)
|
|||
|
|
(0.42991731206146316-0.30417298187455954j)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> 1/np.sqrt(x)
|
|||
|
|
(0.4299173120614631-0.30417298187455954j)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
The so-called "first lemniscate constant":
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> elliprf(0, 1, 2)
|
|||
|
|
1.3110287771460598
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> from scipy.special import gamma
|
|||
|
|
>>> gamma(0.25)**2/(4*np.sqrt(2*np.pi))
|
|||
|
|
1.3110287771460598 elliprg(x, y, z, out=None)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Completely-symmetric elliptic integral of the second kind.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
The function RG is defined as [1]_
|
|||
|
|
|
|||
|
|
.. math::
|
|||
|
|
|
|||
|
|
R_{\mathrm{G}}(x, y, z) =
|
|||
|
|
\frac{1}{4} \int_0^{+\infty} [(t + x) (t + y) (t + z)]^{-1/2}
|
|||
|
|
\left(\frac{x}{t + x} + \frac{y}{t + y} + \frac{z}{t + z}\right) t
|
|||
|
|
dt
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
x, y, z : array_like
|
|||
|
|
Real or complex input parameters. `x`, `y`, or `z` can be any number in
|
|||
|
|
the complex plane cut along the negative real axis.
|
|||
|
|
out : ndarray, optional
|
|||
|
|
Optional output array for the function values
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
R : scalar or ndarray
|
|||
|
|
Value of the integral. If all of `x`, `y`, and `z` are real, the return
|
|||
|
|
value is real. Otherwise, the return value is complex.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
See Also
|
|||
|
|
--------
|
|||
|
|
elliprc : Degenerate symmetric integral.
|
|||
|
|
elliprd : Symmetric elliptic integral of the second kind.
|
|||
|
|
elliprf : Completely-symmetric elliptic integral of the first kind.
|
|||
|
|
elliprj : Symmetric elliptic integral of the third kind.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Notes
|
|||
|
|
-----
|
|||
|
|
The implementation uses the relation [1]_
|
|||
|
|
|
|||
|
|
.. math::
|
|||
|
|
|
|||
|
|
2 R_{\mathrm{G}}(x, y, z) =
|
|||
|
|
z R_{\mathrm{F}}(x, y, z) -
|
|||
|
|
\frac{1}{3} (x - z) (y - z) R_{\mathrm{D}}(x, y, z) +
|
|||
|
|
\sqrt{\frac{x y}{z}}
|
|||
|
|
|
|||
|
|
and the symmetry of `x`, `y`, `z` when at least one non-zero parameter can
|
|||
|
|
be chosen as the pivot. When one of the arguments is close to zero, the AGM
|
|||
|
|
method is applied instead. Other special cases are computed following Ref.
|
|||
|
|
[2]_
|
|||
|
|
|
|||
|
|
.. versionadded:: 1.8.0
|
|||
|
|
|
|||
|
|
References
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
.. [1] B. C. Carlson, "Numerical computation of real or complex elliptic
|
|||
|
|
integrals," Numer. Algorithm, vol. 10, no. 1, pp. 13-26, 1995.
|
|||
|
|
https://arxiv.org/abs/math/9409227
|
|||
|
|
https://doi.org/10.1007/BF02198293
|
|||
|
|
.. [2] B. C. Carlson, ed., Chapter 19 in "Digital Library of Mathematical
|
|||
|
|
Functions," NIST, US Dept. of Commerce.
|
|||
|
|
https://dlmf.nist.gov/19.16.E1
|
|||
|
|
https://dlmf.nist.gov/19.20.ii
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Examples
|
|||
|
|
--------
|
|||
|
|
Basic homogeneity property:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> import numpy as np
|
|||
|
|
>>> from scipy.special import elliprg
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> x = 1.2 + 3.4j
|
|||
|
|
>>> y = 5.
|
|||
|
|
>>> z = 6.
|
|||
|
|
>>> scale = 0.3 + 0.4j
|
|||
|
|
>>> elliprg(scale*x, scale*y, scale*z)
|
|||
|
|
(1.195936862005246+0.8470988320464167j)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> elliprg(x, y, z)*np.sqrt(scale)
|
|||
|
|
(1.195936862005246+0.8470988320464165j)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Simplifications:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> elliprg(0, y, y)
|
|||
|
|
1.756203682760182
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> 0.25*np.pi*np.sqrt(y)
|
|||
|
|
1.7562036827601817
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> elliprg(0, 0, z)
|
|||
|
|
1.224744871391589
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> 0.5*np.sqrt(z)
|
|||
|
|
1.224744871391589
|
|||
|
|
|
|||
|
|
The surface area of a triaxial ellipsoid with semiaxes ``a``, ``b``, and
|
|||
|
|
``c`` is given by
|
|||
|
|
|
|||
|
|
.. math::
|
|||
|
|
|
|||
|
|
S = 4 \pi a b c R_{\mathrm{G}}(1 / a^2, 1 / b^2, 1 / c^2).
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> def ellipsoid_area(a, b, c):
|
|||
|
|
... r = 4.0 * np.pi * a * b * c
|
|||
|
|
... return r * elliprg(1.0 / (a * a), 1.0 / (b * b), 1.0 / (c * c))
|
|||
|
|
>>> print(ellipsoid_area(1, 3, 5))
|
|||
|
|
108.62688289491807 elliprj(x, y, z, p, out=None)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Symmetric elliptic integral of the third kind.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
The function RJ is defined as [1]_
|
|||
|
|
|
|||
|
|
.. math::
|
|||
|
|
|
|||
|
|
R_{\mathrm{J}}(x, y, z, p) =
|
|||
|
|
\frac{3}{2} \int_0^{+\infty} [(t + x) (t + y) (t + z)]^{-1/2}
|
|||
|
|
(t + p)^{-1} dt
|
|||
|
|
|
|||
|
|
.. warning::
|
|||
|
|
This function should be considered experimental when the inputs are
|
|||
|
|
unbalanced. Check correctness with another independent implementation.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
x, y, z, p : array_like
|
|||
|
|
Real or complex input parameters. `x`, `y`, or `z` are numbers in
|
|||
|
|
the complex plane cut along the negative real axis (subject to further
|
|||
|
|
constraints, see Notes), and at most one of them can be zero. `p` must
|
|||
|
|
be non-zero.
|
|||
|
|
out : ndarray, optional
|
|||
|
|
Optional output array for the function values
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
R : scalar or ndarray
|
|||
|
|
Value of the integral. If all of `x`, `y`, `z`, and `p` are real, the
|
|||
|
|
return value is real. Otherwise, the return value is complex.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
If `p` is real and negative, while `x`, `y`, and `z` are real,
|
|||
|
|
non-negative, and at most one of them is zero, the Cauchy principal
|
|||
|
|
value is returned. [1]_ [2]_
|
|||
|
|
|
|||
|
|
See Also
|
|||
|
|
--------
|
|||
|
|
elliprc : Degenerate symmetric integral.
|
|||
|
|
elliprd : Symmetric elliptic integral of the second kind.
|
|||
|
|
elliprf : Completely-symmetric elliptic integral of the first kind.
|
|||
|
|
elliprg : Completely-symmetric elliptic integral of the second kind.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Notes
|
|||
|
|
-----
|
|||
|
|
The code implements Carlson's algorithm based on the duplication theorems
|
|||
|
|
and series expansion up to the 7th order. [3]_ The algorithm is slightly
|
|||
|
|
different from its earlier incarnation as it appears in [1]_, in that the
|
|||
|
|
call to `elliprc` (or ``atan``/``atanh``, see [4]_) is no longer needed in
|
|||
|
|
the inner loop. Asymptotic approximations are used where arguments differ
|
|||
|
|
widely in the order of magnitude. [5]_
|
|||
|
|
|
|||
|
|
The input values are subject to certain sufficient but not necessary
|
|||
|
|
constraints when input arguments are complex. Notably, ``x``, ``y``, and
|
|||
|
|
``z`` must have non-negative real parts, unless two of them are
|
|||
|
|
non-negative and complex-conjugates to each other while the other is a real
|
|||
|
|
non-negative number. [1]_ If the inputs do not satisfy the sufficient
|
|||
|
|
condition described in Ref. [1]_ they are rejected outright with the output
|
|||
|
|
set to NaN.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
In the case where one of ``x``, ``y``, and ``z`` is equal to ``p``, the
|
|||
|
|
function ``elliprd`` should be preferred because of its less restrictive
|
|||
|
|
domain.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
.. versionadded:: 1.8.0
|
|||
|
|
|
|||
|
|
References
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
.. [1] B. C. Carlson, "Numerical computation of real or complex elliptic
|
|||
|
|
integrals," Numer. Algorithm, vol. 10, no. 1, pp. 13-26, 1995.
|
|||
|
|
https://arxiv.org/abs/math/9409227
|
|||
|
|
https://doi.org/10.1007/BF02198293
|
|||
|
|
.. [2] B. C. Carlson, ed., Chapter 19 in "Digital Library of Mathematical
|
|||
|
|
Functions," NIST, US Dept. of Commerce.
|
|||
|
|
https://dlmf.nist.gov/19.20.iii
|
|||
|
|
.. [3] B. C. Carlson, J. FitzSimmons, "Reduction Theorems for Elliptic
|
|||
|
|
Integrands with the Square Root of Two Quadratic Factors," J.
|
|||
|
|
Comput. Appl. Math., vol. 118, nos. 1-2, pp. 71-85, 2000.
|
|||
|
|
https://doi.org/10.1016/S0377-0427(00)00282-X
|
|||
|
|
.. [4] F. Johansson, "Numerical Evaluation of Elliptic Functions, Elliptic
|
|||
|
|
Integrals and Modular Forms," in J. Blumlein, C. Schneider, P.
|
|||
|
|
Paule, eds., "Elliptic Integrals, Elliptic Functions and Modular
|
|||
|
|
Forms in Quantum Field Theory," pp. 269-293, 2019 (Cham,
|
|||
|
|
Switzerland: Springer Nature Switzerland)
|
|||
|
|
https://arxiv.org/abs/1806.06725
|
|||
|
|
https://doi.org/10.1007/978-3-030-04480-0
|
|||
|
|
.. [5] B. C. Carlson, J. L. Gustafson, "Asymptotic Approximations for
|
|||
|
|
Symmetric Elliptic Integrals," SIAM J. Math. Anls., vol. 25, no. 2,
|
|||
|
|
pp. 288-303, 1994.
|
|||
|
|
https://arxiv.org/abs/math/9310223
|
|||
|
|
https://doi.org/10.1137/S0036141092228477
|
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|
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|
Examples
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|||
|
|
--------
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|
Basic homogeneity property:
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|
>>> import numpy as np
|
|||
|
|
>>> from scipy.special import elliprj
|
|||
|
|
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|
|
>>> x = 1.2 + 3.4j
|
|||
|
|
>>> y = 5.
|
|||
|
|
>>> z = 6.
|
|||
|
|
>>> p = 7.
|
|||
|
|
>>> scale = 0.3 - 0.4j
|
|||
|
|
>>> elliprj(scale*x, scale*y, scale*z, scale*p)
|
|||
|
|
(0.10834905565679157+0.19694950747103812j)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> elliprj(x, y, z, p)*np.power(scale, -1.5)
|
|||
|
|
(0.10834905565679556+0.19694950747103854j)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Reduction to simpler elliptic integral:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> elliprj(x, y, z, z)
|
|||
|
|
(0.08288462362195129-0.028376809745123258j)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> from scipy.special import elliprd
|
|||
|
|
>>> elliprd(x, y, z)
|
|||
|
|
(0.08288462362195136-0.028376809745123296j)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
All arguments coincide:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> elliprj(x, x, x, x)
|
|||
|
|
(-0.03986825876151896-0.14051741840449586j)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> np.power(x, -1.5)
|
|||
|
|
(-0.03986825876151894-0.14051741840449583j) entr(x, out=None)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Elementwise function for computing entropy.
|
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|
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|
.. math:: \text{entr}(x) = \begin{cases} - x \log(x) & x > 0 \\ 0 & x = 0
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|
|
\\ -\infty & \text{otherwise} \end{cases}
|
|||
|
|
|
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|
|
Parameters
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|
|
----------
|
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|
|
x : ndarray
|
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|
|
Input array.
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|
|
out : ndarray, optional
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|
|
Optional output array for the function values
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|
|
|
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|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
res : scalar or ndarray
|
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|
|
The value of the elementwise entropy function at the given points `x`.
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|
See Also
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--------
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|
|
kl_div, rel_entr, scipy.stats.entropy
|
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|
|
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|
Notes
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|
|
.. versionadded:: 0.15.0
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|
|
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|
This function is concave.
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|
|
The origin of this function is in convex programming; see [1]_.
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|
|
Given a probability distribution :math:`p_1, \ldots, p_n`,
|
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|
|
the definition of entropy in the context of *information theory* is
|
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|
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|
|
.. math::
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|
|
\sum_{i = 1}^n \mathrm{entr}(p_i).
|
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|
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|
To compute the latter quantity, use `scipy.stats.entropy`.
|
|||
|
|
|
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|
|
References
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|||
|
|
----------
|
|||
|
|
.. [1] Boyd, Stephen and Lieven Vandenberghe. *Convex optimization*.
|
|||
|
|
Cambridge University Press, 2004.
|
|||
|
|
:doi:`https://doi.org/10.1017/CBO9780511804441` erfcinv(y, out=None)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Inverse of the complementary error function.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Computes the inverse of the complementary error function.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
In the complex domain, there is no unique complex number w satisfying
|
|||
|
|
erfc(w)=z. This indicates a true inverse function would be multivalued.
|
|||
|
|
When the domain restricts to the real, 0 < x < 2, there is a unique real
|
|||
|
|
number satisfying erfc(erfcinv(x)) = erfcinv(erfc(x)).
|
|||
|
|
|
|||
|
|
It is related to inverse of the error function by erfcinv(1-x) = erfinv(x)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
y : ndarray
|
|||
|
|
Argument at which to evaluate. Domain: [0, 2]
|
|||
|
|
out : ndarray, optional
|
|||
|
|
Optional output array for the function values
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
erfcinv : scalar or ndarray
|
|||
|
|
The inverse of erfc of y, element-wise
|
|||
|
|
|
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|
|
See Also
|
|||
|
|
--------
|
|||
|
|
erf : Error function of a complex argument
|
|||
|
|
erfc : Complementary error function, ``1 - erf(x)``
|
|||
|
|
erfinv : Inverse of the error function
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Examples
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|
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--------
|
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|
|
>>> import numpy as np
|
|||
|
|
>>> import matplotlib.pyplot as plt
|
|||
|
|
>>> from scipy.special import erfcinv
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> erfcinv(0.5)
|
|||
|
|
0.4769362762044699
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> y = np.linspace(0.0, 2.0, num=11)
|
|||
|
|
>>> erfcinv(y)
|
|||
|
|
array([ inf, 0.9061938 , 0.59511608, 0.37080716, 0.17914345,
|
|||
|
|
-0. , -0.17914345, -0.37080716, -0.59511608, -0.9061938 ,
|
|||
|
|
-inf])
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Plot the function:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> y = np.linspace(0, 2, 200)
|
|||
|
|
>>> fig, ax = plt.subplots()
|
|||
|
|
>>> ax.plot(y, erfcinv(y))
|
|||
|
|
>>> ax.grid(True)
|
|||
|
|
>>> ax.set_xlabel('y')
|
|||
|
|
>>> ax.set_title('erfcinv(y)')
|
|||
|
|
>>> plt.show() erfinv(y, out=None)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Inverse of the error function.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Computes the inverse of the error function.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
In the complex domain, there is no unique complex number w satisfying
|
|||
|
|
erf(w)=z. This indicates a true inverse function would be multivalued.
|
|||
|
|
When the domain restricts to the real, -1 < x < 1, there is a unique real
|
|||
|
|
number satisfying erf(erfinv(x)) = x.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
y : ndarray
|
|||
|
|
Argument at which to evaluate. Domain: [-1, 1]
|
|||
|
|
out : ndarray, optional
|
|||
|
|
Optional output array for the function values
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
erfinv : scalar or ndarray
|
|||
|
|
The inverse of erf of y, element-wise
|
|||
|
|
|
|||
|
|
See Also
|
|||
|
|
--------
|
|||
|
|
erf : Error function of a complex argument
|
|||
|
|
erfc : Complementary error function, ``1 - erf(x)``
|
|||
|
|
erfcinv : Inverse of the complementary error function
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Notes
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|
|
This function wraps the ``erf_inv`` routine from the
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|
Boost Math C++ library [1]_.
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|
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|
References
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|
----------
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|
|
.. [1] The Boost Developers. "Boost C++ Libraries". https://www.boost.org/.
|
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|
|
|
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|
|
Examples
|
|||
|
|
--------
|
|||
|
|
>>> import numpy as np
|
|||
|
|
>>> import matplotlib.pyplot as plt
|
|||
|
|
>>> from scipy.special import erfinv, erf
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> erfinv(0.5)
|
|||
|
|
0.4769362762044699
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> y = np.linspace(-1.0, 1.0, num=9)
|
|||
|
|
>>> x = erfinv(y)
|
|||
|
|
>>> x
|
|||
|
|
array([ -inf, -0.81341985, -0.47693628, -0.22531206, 0. ,
|
|||
|
|
0.22531206, 0.47693628, 0.81341985, inf])
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Verify that ``erf(erfinv(y))`` is ``y``.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> erf(x)
|
|||
|
|
array([-1. , -0.75, -0.5 , -0.25, 0. , 0.25, 0.5 , 0.75, 1. ])
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Plot the function:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> y = np.linspace(-1, 1, 200)
|
|||
|
|
>>> fig, ax = plt.subplots()
|
|||
|
|
>>> ax.plot(y, erfinv(y))
|
|||
|
|
>>> ax.grid(True)
|
|||
|
|
>>> ax.set_xlabel('y')
|
|||
|
|
>>> ax.set_title('erfinv(y)')
|
|||
|
|
>>> plt.show() eval_chebyc(n, x, out=None)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Evaluate Chebyshev polynomial of the first kind on [-2, 2] at a
|
|||
|
|
point.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
These polynomials are defined as
|
|||
|
|
|
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|
|
.. math::
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|
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|
|
C_n(x) = 2 T_n(x/2)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
where :math:`T_n` is a Chebyshev polynomial of the first kind. See
|
|||
|
|
22.5.11 in [AS]_ (or equivalently [DLMF]_) for details.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
n : array_like
|
|||
|
|
Degree of the polynomial. If not an integer, the result is
|
|||
|
|
determined via the relation to `eval_chebyt`.
|
|||
|
|
x : array_like
|
|||
|
|
Points at which to evaluate the Chebyshev polynomial
|
|||
|
|
out : ndarray, optional
|
|||
|
|
Optional output array for the function values
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
C : scalar or ndarray
|
|||
|
|
Values of the Chebyshev polynomial
|
|||
|
|
|
|||
|
|
See Also
|
|||
|
|
--------
|
|||
|
|
roots_chebyc : roots and quadrature weights of Chebyshev
|
|||
|
|
polynomials of the first kind on [-2, 2]
|
|||
|
|
chebyc : Chebyshev polynomial object
|
|||
|
|
numpy.polynomial.chebyshev.Chebyshev : Chebyshev series
|
|||
|
|
eval_chebyt : evaluate Chebycshev polynomials of the first kind
|
|||
|
|
|
|||
|
|
References
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
.. [AS] Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds.
|
|||
|
|
Handbook of Mathematical Functions with Formulas,
|
|||
|
|
Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972.
|
|||
|
|
.. [DLMF] NIST Digital Library of Mathematical Functions,
|
|||
|
|
https://dlmf.nist.gov/18.1.E3
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Examples
|
|||
|
|
--------
|
|||
|
|
>>> import numpy as np
|
|||
|
|
>>> import scipy.special as sc
|
|||
|
|
|
|||
|
|
They are a scaled version of the Chebyshev polynomials of the
|
|||
|
|
first kind.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> x = np.linspace(-2, 2, 6)
|
|||
|
|
>>> sc.eval_chebyc(3, x)
|
|||
|
|
array([-2. , 1.872, 1.136, -1.136, -1.872, 2. ])
|
|||
|
|
>>> 2 * sc.eval_chebyt(3, x / 2)
|
|||
|
|
array([-2. , 1.872, 1.136, -1.136, -1.872, 2. ]) eval_chebys(n, x, out=None)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Evaluate Chebyshev polynomial of the second kind on [-2, 2] at a
|
|||
|
|
point.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
These polynomials are defined as
|
|||
|
|
|
|||
|
|
.. math::
|
|||
|
|
|
|||
|
|
S_n(x) = U_n(x/2)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
where :math:`U_n` is a Chebyshev polynomial of the second kind.
|
|||
|
|
See 22.5.13 in [AS]_ (or equivalently [DLMF]_) for details.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
n : array_like
|
|||
|
|
Degree of the polynomial. If not an integer, the result is
|
|||
|
|
determined via the relation to `eval_chebyu`.
|
|||
|
|
x : array_like
|
|||
|
|
Points at which to evaluate the Chebyshev polynomial
|
|||
|
|
out : ndarray, optional
|
|||
|
|
Optional output array for the function values
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
S : scalar or ndarray
|
|||
|
|
Values of the Chebyshev polynomial
|
|||
|
|
|
|||
|
|
See Also
|
|||
|
|
--------
|
|||
|
|
roots_chebys : roots and quadrature weights of Chebyshev
|
|||
|
|
polynomials of the second kind on [-2, 2]
|
|||
|
|
chebys : Chebyshev polynomial object
|
|||
|
|
eval_chebyu : evaluate Chebyshev polynomials of the second kind
|
|||
|
|
|
|||
|
|
References
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
.. [AS] Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds.
|
|||
|
|
Handbook of Mathematical Functions with Formulas,
|
|||
|
|
Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972.
|
|||
|
|
.. [DLMF] NIST Digital Library of Mathematical Functions,
|
|||
|
|
https://dlmf.nist.gov/18.1.E3
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Examples
|
|||
|
|
--------
|
|||
|
|
>>> import numpy as np
|
|||
|
|
>>> import scipy.special as sc
|
|||
|
|
|
|||
|
|
They are a scaled version of the Chebyshev polynomials of the
|
|||
|
|
second kind.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> x = np.linspace(-2, 2, 6)
|
|||
|
|
>>> sc.eval_chebys(3, x)
|
|||
|
|
array([-4. , 0.672, 0.736, -0.736, -0.672, 4. ])
|
|||
|
|
>>> sc.eval_chebyu(3, x / 2)
|
|||
|
|
array([-4. , 0.672, 0.736, -0.736, -0.672, 4. ]) eval_chebyt(n, x, out=None)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Evaluate Chebyshev polynomial of the first kind at a point.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
The Chebyshev polynomials of the first kind can be defined via the
|
|||
|
|
Gauss hypergeometric function :math:`{}_2F_1` as
|
|||
|
|
|
|||
|
|
.. math::
|
|||
|
|
|
|||
|
|
T_n(x) = {}_2F_1(n, -n; 1/2; (1 - x)/2).
|
|||
|
|
|
|||
|
|
When :math:`n` is an integer the result is a polynomial of degree
|
|||
|
|
:math:`n`. See 22.5.47 in [AS]_ (or equivalently [DLMF]_) for details.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
n : array_like
|
|||
|
|
Degree of the polynomial. If not an integer, the result is
|
|||
|
|
determined via the relation to the Gauss hypergeometric
|
|||
|
|
function.
|
|||
|
|
x : array_like
|
|||
|
|
Points at which to evaluate the Chebyshev polynomial
|
|||
|
|
out : ndarray, optional
|
|||
|
|
Optional output array for the function values
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
T : scalar or ndarray
|
|||
|
|
Values of the Chebyshev polynomial
|
|||
|
|
|
|||
|
|
See Also
|
|||
|
|
--------
|
|||
|
|
roots_chebyt : roots and quadrature weights of Chebyshev
|
|||
|
|
polynomials of the first kind
|
|||
|
|
chebyu : Chebychev polynomial object
|
|||
|
|
eval_chebyu : evaluate Chebyshev polynomials of the second kind
|
|||
|
|
hyp2f1 : Gauss hypergeometric function
|
|||
|
|
numpy.polynomial.chebyshev.Chebyshev : Chebyshev series
|
|||
|
|
|
|||
|
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Notes
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This routine is numerically stable for `x` in ``[-1, 1]`` at least
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up to order ``10000``.
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References
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|
.. [AS] Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds.
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|
Handbook of Mathematical Functions with Formulas,
|
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|
Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972.
|
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|
|
.. [DLMF] NIST Digital Library of Mathematical Functions,
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|
https://dlmf.nist.gov/18.5.E11_2 eval_chebyu(n, x, out=None)
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|
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|
Evaluate Chebyshev polynomial of the second kind at a point.
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The Chebyshev polynomials of the second kind can be defined via
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the Gauss hypergeometric function :math:`{}_2F_1` as
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.. math::
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U_n(x) = (n + 1) {}_2F_1(-n, n + 2; 3/2; (1 - x)/2).
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|
|
When :math:`n` is an integer the result is a polynomial of degree
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|
:math:`n`. See 22.5.48 in [AS]_ (or equivalently [DLMF]_) for details.
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Parameters
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----------
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|
n : array_like
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|
Degree of the polynomial. If not an integer, the result is
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determined via the relation to the Gauss hypergeometric
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function.
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|
x : array_like
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|
Points at which to evaluate the Chebyshev polynomial
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|
out : ndarray, optional
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|
Optional output array for the function values
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|
Returns
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-------
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|
U : scalar or ndarray
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Values of the Chebyshev polynomial
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See Also
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roots_chebyu : roots and quadrature weights of Chebyshev
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polynomials of the second kind
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|
chebyu : Chebyshev polynomial object
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eval_chebyt : evaluate Chebyshev polynomials of the first kind
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hyp2f1 : Gauss hypergeometric function
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References
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|
.. [AS] Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds.
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|
Handbook of Mathematical Functions with Formulas,
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|
|
Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972.
|
|||
|
|
.. [DLMF] NIST Digital Library of Mathematical Functions,
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|
|
https://dlmf.nist.gov/18.5.E11_4 eval_gegenbauer(n, alpha, x, out=None)
|
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|
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|
Evaluate Gegenbauer polynomial at a point.
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|
The Gegenbauer polynomials can be defined via the Gauss
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|
hypergeometric function :math:`{}_2F_1` as
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.. math::
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|
C_n^{(\alpha)} = \frac{(2\alpha)_n}{\Gamma(n + 1)}
|
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|
|
{}_2F_1(-n, 2\alpha + n; \alpha + 1/2; (1 - z)/2).
|
|||
|
|
|
|||
|
|
When :math:`n` is an integer the result is a polynomial of degree
|
|||
|
|
:math:`n`. See 22.5.46 in [AS]_ (or equivalently [DLMF]_) for details.
|
|||
|
|
|
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|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
n : array_like
|
|||
|
|
Degree of the polynomial. If not an integer, the result is
|
|||
|
|
determined via the relation to the Gauss hypergeometric
|
|||
|
|
function.
|
|||
|
|
alpha : array_like
|
|||
|
|
Parameter
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|
|
x : array_like
|
|||
|
|
Points at which to evaluate the Gegenbauer polynomial
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|
|
out : ndarray, optional
|
|||
|
|
Optional output array for the function values
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|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
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|
|
C : scalar or ndarray
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|
Values of the Gegenbauer polynomial
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See Also
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--------
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|
roots_gegenbauer : roots and quadrature weights of Gegenbauer
|
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|
|
polynomials
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|
|
gegenbauer : Gegenbauer polynomial object
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|
|
hyp2f1 : Gauss hypergeometric function
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|
|
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|
References
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----------
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|
|
.. [AS] Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds.
|
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|
|
Handbook of Mathematical Functions with Formulas,
|
|||
|
|
Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972.
|
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|
|
.. [DLMF] NIST Digital Library of Mathematical Functions,
|
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|
|
https://dlmf.nist.gov/18.5.E9 eval_genlaguerre(n, alpha, x, out=None)
|
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|
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|
Evaluate generalized Laguerre polynomial at a point.
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|
The generalized Laguerre polynomials can be defined via the
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|
confluent hypergeometric function :math:`{}_1F_1` as
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.. math::
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|
L_n^{(\alpha)}(x) = \binom{n + \alpha}{n}
|
|||
|
|
{}_1F_1(-n, \alpha + 1, x).
|
|||
|
|
|
|||
|
|
When :math:`n` is an integer the result is a polynomial of degree
|
|||
|
|
:math:`n`. See 22.5.54 in [AS]_ or [DLMF]_ for details. The Laguerre
|
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|
|
polynomials are the special case where :math:`\alpha = 0`.
|
|||
|
|
|
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|
|
Parameters
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|
|
----------
|
|||
|
|
n : array_like
|
|||
|
|
Degree of the polynomial. If not an integer, the result is
|
|||
|
|
determined via the relation to the confluent hypergeometric
|
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|
|
function.
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|
|
alpha : array_like
|
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|
Parameter; must have ``alpha > -1``
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x : array_like
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|
|
Points at which to evaluate the generalized Laguerre
|
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|
|
polynomial
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|
|
out : ndarray, optional
|
|||
|
|
Optional output array for the function values
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
L : scalar or ndarray
|
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|
Values of the generalized Laguerre polynomial
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|
|
|
|||
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|
See Also
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--------
|
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|
|
roots_genlaguerre : roots and quadrature weights of generalized
|
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|
|
Laguerre polynomials
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|
|
genlaguerre : generalized Laguerre polynomial object
|
|||
|
|
hyp1f1 : confluent hypergeometric function
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|
|
eval_laguerre : evaluate Laguerre polynomials
|
|||
|
|
|
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|
References
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----------
|
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|
|
.. [AS] Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds.
|
|||
|
|
Handbook of Mathematical Functions with Formulas,
|
|||
|
|
Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972.
|
|||
|
|
.. [DLMF] NIST Digital Library of Mathematical Functions,
|
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|
|
https://dlmf.nist.gov/18.5.E12 eval_hermite(n, x, out=None)
|
|||
|
|
|
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|
|
Evaluate physicist's Hermite polynomial at a point.
|
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|
|
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Defined by
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|
|
.. math::
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|||
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|||
|
|
H_n(x) = (-1)^n e^{x^2} \frac{d^n}{dx^n} e^{-x^2};
|
|||
|
|
|
|||
|
|
:math:`H_n` is a polynomial of degree :math:`n`. See 22.11.7 in
|
|||
|
|
[AS]_ or [DLMF]_ for details.
|
|||
|
|
|
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|
|
Parameters
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|||
|
|
----------
|
|||
|
|
n : array_like
|
|||
|
|
Degree of the polynomial
|
|||
|
|
x : array_like
|
|||
|
|
Points at which to evaluate the Hermite polynomial
|
|||
|
|
out : ndarray, optional
|
|||
|
|
Optional output array for the function values
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
H : scalar or ndarray
|
|||
|
|
Values of the Hermite polynomial
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|
|
|
|||
|
|
See Also
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|||
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|
--------
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|||
|
|
roots_hermite : roots and quadrature weights of physicist's
|
|||
|
|
Hermite polynomials
|
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|
|
hermite : physicist's Hermite polynomial object
|
|||
|
|
numpy.polynomial.hermite.Hermite : Physicist's Hermite series
|
|||
|
|
eval_hermitenorm : evaluate Probabilist's Hermite polynomials
|
|||
|
|
|
|||
|
|
References
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|
----------
|
|||
|
|
.. [AS] Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds.
|
|||
|
|
Handbook of Mathematical Functions with Formulas,
|
|||
|
|
Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972.
|
|||
|
|
.. [DLMF] NIST Digital Library of Mathematical Functions,
|
|||
|
|
https://dlmf.nist.gov/18.5.T1 eval_hermitenorm(n, x, out=None)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Evaluate probabilist's (normalized) Hermite polynomial at a
|
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|
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point.
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|||
|
|
Defined by
|
|||
|
|
|
|||
|
|
.. math::
|
|||
|
|
|
|||
|
|
He_n(x) = (-1)^n e^{x^2/2} \frac{d^n}{dx^n} e^{-x^2/2};
|
|||
|
|
|
|||
|
|
:math:`He_n` is a polynomial of degree :math:`n`. See 22.11.8 in
|
|||
|
|
[AS]_ or [DLMF]_ for details.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
n : array_like
|
|||
|
|
Degree of the polynomial
|
|||
|
|
x : array_like
|
|||
|
|
Points at which to evaluate the Hermite polynomial
|
|||
|
|
out : ndarray, optional
|
|||
|
|
Optional output array for the function values
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
He : scalar or ndarray
|
|||
|
|
Values of the Hermite polynomial
|
|||
|
|
|
|||
|
|
See Also
|
|||
|
|
--------
|
|||
|
|
roots_hermitenorm : roots and quadrature weights of probabilist's
|
|||
|
|
Hermite polynomials
|
|||
|
|
hermitenorm : probabilist's Hermite polynomial object
|
|||
|
|
numpy.polynomial.hermite_e.HermiteE : Probabilist's Hermite series
|
|||
|
|
eval_hermite : evaluate physicist's Hermite polynomials
|
|||
|
|
|
|||
|
|
References
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
.. [AS] Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds.
|
|||
|
|
Handbook of Mathematical Functions with Formulas,
|
|||
|
|
Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972.
|
|||
|
|
.. [DLMF] NIST Digital Library of Mathematical Functions,
|
|||
|
|
https://dlmf.nist.gov/18.5.T1 eval_jacobi(n, alpha, beta, x, out=None)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Evaluate Jacobi polynomial at a point.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
The Jacobi polynomials can be defined via the Gauss hypergeometric
|
|||
|
|
function :math:`{}_2F_1` as
|
|||
|
|
|
|||
|
|
.. math::
|
|||
|
|
|
|||
|
|
P_n^{(\alpha, \beta)}(x) = \frac{(\alpha + 1)_n}{\Gamma(n + 1)}
|
|||
|
|
{}_2F_1(-n, 1 + \alpha + \beta + n; \alpha + 1; (1 - z)/2)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
where :math:`(\cdot)_n` is the Pochhammer symbol; see `poch`. When
|
|||
|
|
:math:`n` is an integer the result is a polynomial of degree
|
|||
|
|
:math:`n`. See 22.5.42 in [AS]_ or [DLMF]_ for details.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
n : array_like
|
|||
|
|
Degree of the polynomial. If not an integer the result is
|
|||
|
|
determined via the relation to the Gauss hypergeometric
|
|||
|
|
function.
|
|||
|
|
alpha : array_like
|
|||
|
|
Parameter
|
|||
|
|
beta : array_like
|
|||
|
|
Parameter
|
|||
|
|
x : array_like
|
|||
|
|
Points at which to evaluate the polynomial
|
|||
|
|
out : ndarray, optional
|
|||
|
|
Optional output array for the function values
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
P : scalar or ndarray
|
|||
|
|
Values of the Jacobi polynomial
|
|||
|
|
|
|||
|
|
See Also
|
|||
|
|
--------
|
|||
|
|
roots_jacobi : roots and quadrature weights of Jacobi polynomials
|
|||
|
|
jacobi : Jacobi polynomial object
|
|||
|
|
hyp2f1 : Gauss hypergeometric function
|
|||
|
|
|
|||
|
|
References
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
.. [AS] Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds.
|
|||
|
|
Handbook of Mathematical Functions with Formulas,
|
|||
|
|
Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972.
|
|||
|
|
.. [DLMF] NIST Digital Library of Mathematical Functions,
|
|||
|
|
https://dlmf.nist.gov/18.5.E7 eval_laguerre(n, x, out=None)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Evaluate Laguerre polynomial at a point.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
The Laguerre polynomials can be defined via the confluent
|
|||
|
|
hypergeometric function :math:`{}_1F_1` as
|
|||
|
|
|
|||
|
|
.. math::
|
|||
|
|
|
|||
|
|
L_n(x) = {}_1F_1(-n, 1, x).
|
|||
|
|
|
|||
|
|
See 22.5.16 and 22.5.54 in [AS]_ (or equivalently [DLMF1]_ and [DLMF2]_)
|
|||
|
|
for details. When :math:`n` is an integer the result is a polynomial
|
|||
|
|
of degree :math:`n`.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
n : array_like
|
|||
|
|
Degree of the polynomial. If not an integer the result is
|
|||
|
|
determined via the relation to the confluent hypergeometric
|
|||
|
|
function.
|
|||
|
|
x : array_like
|
|||
|
|
Points at which to evaluate the Laguerre polynomial
|
|||
|
|
out : ndarray, optional
|
|||
|
|
Optional output array for the function values
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
L : scalar or ndarray
|
|||
|
|
Values of the Laguerre polynomial
|
|||
|
|
|
|||
|
|
See Also
|
|||
|
|
--------
|
|||
|
|
roots_laguerre : roots and quadrature weights of Laguerre
|
|||
|
|
polynomials
|
|||
|
|
laguerre : Laguerre polynomial object
|
|||
|
|
numpy.polynomial.laguerre.Laguerre : Laguerre series
|
|||
|
|
eval_genlaguerre : evaluate generalized Laguerre polynomials
|
|||
|
|
|
|||
|
|
References
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
.. [AS] Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds.
|
|||
|
|
Handbook of Mathematical Functions with Formulas,
|
|||
|
|
Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972.
|
|||
|
|
.. [DLMF1] NIST Digital Library of Mathematical Functions,
|
|||
|
|
https://dlmf.nist.gov/18.1#I1.ix7.p1
|
|||
|
|
.. [DLMF2] NIST Digital Library of Mathematical Functions,
|
|||
|
|
https://dlmf.nist.gov/18.5.E12 eval_legendre(n, x, out=None)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Evaluate Legendre polynomial at a point.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
The Legendre polynomials can be defined via the Gauss
|
|||
|
|
hypergeometric function :math:`{}_2F_1` as
|
|||
|
|
|
|||
|
|
.. math::
|
|||
|
|
|
|||
|
|
P_n(x) = {}_2F_1(-n, n + 1; 1; (1 - x)/2).
|
|||
|
|
|
|||
|
|
When :math:`n` is an integer the result is a polynomial of degree
|
|||
|
|
:math:`n`. See 22.5.49 in [AS]_ (or equivalently [DLMF]_) for details.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
n : array_like
|
|||
|
|
Degree of the polynomial. If not an integer, the result is
|
|||
|
|
determined via the relation to the Gauss hypergeometric
|
|||
|
|
function.
|
|||
|
|
x : array_like
|
|||
|
|
Points at which to evaluate the Legendre polynomial
|
|||
|
|
out : ndarray, optional
|
|||
|
|
Optional output array for the function values
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
P : scalar or ndarray
|
|||
|
|
Values of the Legendre polynomial
|
|||
|
|
|
|||
|
|
See Also
|
|||
|
|
--------
|
|||
|
|
roots_legendre : roots and quadrature weights of Legendre
|
|||
|
|
polynomials
|
|||
|
|
legendre : Legendre polynomial object
|
|||
|
|
hyp2f1 : Gauss hypergeometric function
|
|||
|
|
numpy.polynomial.legendre.Legendre : Legendre series
|
|||
|
|
|
|||
|
|
References
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
.. [AS] Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds.
|
|||
|
|
Handbook of Mathematical Functions with Formulas,
|
|||
|
|
Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972.
|
|||
|
|
.. [DLMF] NIST Digital Library of Mathematical Functions,
|
|||
|
|
https://dlmf.nist.gov/15.9.E7
|
|||
|
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Examples
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--------
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>>> import numpy as np
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>>> from scipy.special import eval_legendre
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|
|
|
|||
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|
Evaluate the zero-order Legendre polynomial at x = 0
|
|||
|
|
|
|||
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|
>>> eval_legendre(0, 0)
|
|||
|
|
1.0
|
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|
|||
|
|
Evaluate the first-order Legendre polynomial between -1 and 1
|
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|
|
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|
>>> X = np.linspace(-1, 1, 5) # Domain of Legendre polynomials
|
|||
|
|
>>> eval_legendre(1, X)
|
|||
|
|
array([-1. , -0.5, 0. , 0.5, 1. ])
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Evaluate Legendre polynomials of order 0 through 4 at x = 0
|
|||
|
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|
>>> N = range(0, 5)
|
|||
|
|
>>> eval_legendre(N, 0)
|
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|
|
array([ 1. , 0. , -0.5 , 0. , 0.375])
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Plot Legendre polynomials of order 0 through 4
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|
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>>> X = np.linspace(-1, 1)
|
|||
|
|
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|
|
>>> import matplotlib.pyplot as plt
|
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|
|
>>> for n in range(0, 5):
|
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|
... y = eval_legendre(n, X)
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|
|
... plt.plot(X, y, label=r'$P_{}(x)$'.format(n))
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|
|
>>> plt.title("Legendre Polynomials")
|
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|
>>> plt.xlabel("x")
|
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|
>>> plt.ylabel(r'$P_n(x)$')
|
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|
>>> plt.legend(loc='lower right')
|
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|
|
>>> plt.show() eval_sh_chebyt(n, x, out=None)
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|
|
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|
|
Evaluate shifted Chebyshev polynomial of the first kind at a
|
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|
|
point.
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|
These polynomials are defined as
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|
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.. math::
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|
|
T_n^*(x) = T_n(2x - 1)
|
|||
|
|
|
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|
|
where :math:`T_n` is a Chebyshev polynomial of the first kind. See
|
|||
|
|
22.5.14 in [AS]_ (or equivalently [DLMF]_) for details.
|
|||
|
|
|
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|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
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|||
|
|
n : array_like
|
|||
|
|
Degree of the polynomial. If not an integer, the result is
|
|||
|
|
determined via the relation to `eval_chebyt`.
|
|||
|
|
x : array_like
|
|||
|
|
Points at which to evaluate the shifted Chebyshev polynomial
|
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|
|
out : ndarray, optional
|
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|
|
Optional output array for the function values
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|
|
|
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|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
T : scalar or ndarray
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|
Values of the shifted Chebyshev polynomial
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|
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|
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|
See Also
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--------
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|
|
roots_sh_chebyt : roots and quadrature weights of shifted
|
|||
|
|
Chebyshev polynomials of the first kind
|
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|
|
sh_chebyt : shifted Chebyshev polynomial object
|
|||
|
|
eval_chebyt : evaluate Chebyshev polynomials of the first kind
|
|||
|
|
numpy.polynomial.chebyshev.Chebyshev : Chebyshev series
|
|||
|
|
|
|||
|
|
References
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
.. [AS] Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds.
|
|||
|
|
Handbook of Mathematical Functions with Formulas,
|
|||
|
|
Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972.
|
|||
|
|
.. [DLMF] NIST Digital Library of Mathematical Functions,
|
|||
|
|
https://dlmf.nist.gov/18.7.E7 eval_sh_chebyu(n, x, out=None)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Evaluate shifted Chebyshev polynomial of the second kind at a
|
|||
|
|
point.
|
|||
|
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|
|||
|
|
These polynomials are defined as
|
|||
|
|
|
|||
|
|
.. math::
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|||
|
|
|
|||
|
|
U_n^*(x) = U_n(2x - 1)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
where :math:`U_n` is a Chebyshev polynomial of the first kind. See
|
|||
|
|
22.5.15 in [AS]_ (or equivalently [DLMF]_) for details.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
n : array_like
|
|||
|
|
Degree of the polynomial. If not an integer, the result is
|
|||
|
|
determined via the relation to `eval_chebyu`.
|
|||
|
|
x : array_like
|
|||
|
|
Points at which to evaluate the shifted Chebyshev polynomial
|
|||
|
|
out : ndarray, optional
|
|||
|
|
Optional output array for the function values
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
U : scalar or ndarray
|
|||
|
|
Values of the shifted Chebyshev polynomial
|
|||
|
|
|
|||
|
|
See Also
|
|||
|
|
--------
|
|||
|
|
roots_sh_chebyu : roots and quadrature weights of shifted
|
|||
|
|
Chebychev polynomials of the second kind
|
|||
|
|
sh_chebyu : shifted Chebyshev polynomial object
|
|||
|
|
eval_chebyu : evaluate Chebyshev polynomials of the second kind
|
|||
|
|
|
|||
|
|
References
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
.. [AS] Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds.
|
|||
|
|
Handbook of Mathematical Functions with Formulas,
|
|||
|
|
Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972.
|
|||
|
|
.. [DLMF] NIST Digital Library of Mathematical Functions,
|
|||
|
|
https://dlmf.nist.gov/18.7.E8 eval_sh_jacobi(n, p, q, x, out=None)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Evaluate shifted Jacobi polynomial at a point.
|
|||
|
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|
Defined by
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|
.. math::
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|||
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|
G_n^{(p, q)}(x)
|
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|
|
= \binom{2n + p - 1}{n}^{-1} P_n^{(p - q, q - 1)}(2x - 1),
|
|||
|
|
|
|||
|
|
where :math:`P_n^{(\cdot, \cdot)}` is the n-th Jacobi polynomial.
|
|||
|
|
See 22.5.2 in [AS]_ (or equivalently [DLMF]_) for details.
|
|||
|
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|
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|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
n : int
|
|||
|
|
Degree of the polynomial. If not an integer, the result is
|
|||
|
|
determined via the relation to `binom` and `eval_jacobi`.
|
|||
|
|
p : float
|
|||
|
|
Parameter
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|||
|
|
q : float
|
|||
|
|
Parameter
|
|||
|
|
out : ndarray, optional
|
|||
|
|
Optional output array for the function values
|
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|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
G : scalar or ndarray
|
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|
Values of the shifted Jacobi polynomial.
|
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|
|
|
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|
|
See Also
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--------
|
|||
|
|
roots_sh_jacobi : roots and quadrature weights of shifted Jacobi
|
|||
|
|
polynomials
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|||
|
|
sh_jacobi : shifted Jacobi polynomial object
|
|||
|
|
eval_jacobi : evaluate Jacobi polynomials
|
|||
|
|
|
|||
|
|
References
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
.. [AS] Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds.
|
|||
|
|
Handbook of Mathematical Functions with Formulas,
|
|||
|
|
Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972.
|
|||
|
|
.. [DLMF] NIST Digital Library of Mathematical Functions,
|
|||
|
|
https://dlmf.nist.gov/18.1.E2 eval_sh_legendre(n, x, out=None)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Evaluate shifted Legendre polynomial at a point.
|
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|
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|
These polynomials are defined as
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|
|
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|
|
.. math::
|
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|
|
P_n^*(x) = P_n(2x - 1)
|
|||
|
|
|
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|
where :math:`P_n` is a Legendre polynomial. See 2.2.11 in [AS]_
|
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|
|
or [DLMF]_ for details.
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|
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|
Parameters
|
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----------
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|||
|
|
n : array_like
|
|||
|
|
Degree of the polynomial. If not an integer, the value is
|
|||
|
|
determined via the relation to `eval_legendre`.
|
|||
|
|
x : array_like
|
|||
|
|
Points at which to evaluate the shifted Legendre polynomial
|
|||
|
|
out : ndarray, optional
|
|||
|
|
Optional output array for the function values
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
P : scalar or ndarray
|
|||
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|
Values of the shifted Legendre polynomial
|
|||
|
|
|
|||
|
|
See Also
|
|||
|
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--------
|
|||
|
|
roots_sh_legendre : roots and quadrature weights of shifted
|
|||
|
|
Legendre polynomials
|
|||
|
|
sh_legendre : shifted Legendre polynomial object
|
|||
|
|
eval_legendre : evaluate Legendre polynomials
|
|||
|
|
numpy.polynomial.legendre.Legendre : Legendre series
|
|||
|
|
|
|||
|
|
References
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
.. [AS] Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds.
|
|||
|
|
Handbook of Mathematical Functions with Formulas,
|
|||
|
|
Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972.
|
|||
|
|
.. [DLMF] NIST Digital Library of Mathematical Functions,
|
|||
|
|
https://dlmf.nist.gov/18.7.E10 expn(n, x, out=None)
|
|||
|
|
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|
|
Generalized exponential integral En.
|
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|
For integer :math:`n \geq 0` and real :math:`x \geq 0` the
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|
generalized exponential integral is defined as [DLMF]_
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|
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|
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|
|
.. math::
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|
E_n(x) = x^{n - 1} \int_x^\infty \frac{e^{-t}}{t^n} dt.
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|
|
Parameters
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|
|
----------
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|
|
n : array_like
|
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|
Non-negative integers
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|
|
x : array_like
|
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|
|
Real argument
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|
|
out : ndarray, optional
|
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|
|
Optional output array for the function results
|
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|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
scalar or ndarray
|
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|
Values of the generalized exponential integral
|
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|
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|
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|
See Also
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--------
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|
exp1 : special case of :math:`E_n` for :math:`n = 1`
|
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|
expi : related to :math:`E_n` when :math:`n = 1`
|
|||
|
|
|
|||
|
|
References
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|
|
----------
|
|||
|
|
.. [DLMF] Digital Library of Mathematical Functions, 8.19.2
|
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|
|
https://dlmf.nist.gov/8.19#E2
|
|||
|
|
|
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|
|
Examples
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--------
|
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>>> import numpy as np
|
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|
>>> import scipy.special as sc
|
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|
|
|
|||
|
|
Its domain is nonnegative n and x.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> sc.expn(-1, 1.0), sc.expn(1, -1.0)
|
|||
|
|
(nan, nan)
|
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|
|
|
|||
|
|
It has a pole at ``x = 0`` for ``n = 1, 2``; for larger ``n`` it
|
|||
|
|
is equal to ``1 / (n - 1)``.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> sc.expn([0, 1, 2, 3, 4], 0)
|
|||
|
|
array([ inf, inf, 1. , 0.5 , 0.33333333])
|
|||
|
|
|
|||
|
|
For n equal to 0 it reduces to ``exp(-x) / x``.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> x = np.array([1, 2, 3, 4])
|
|||
|
|
>>> sc.expn(0, x)
|
|||
|
|
array([0.36787944, 0.06766764, 0.01659569, 0.00457891])
|
|||
|
|
>>> np.exp(-x) / x
|
|||
|
|
array([0.36787944, 0.06766764, 0.01659569, 0.00457891])
|
|||
|
|
|
|||
|
|
For n equal to 1 it reduces to `exp1`.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> sc.expn(1, x)
|
|||
|
|
array([0.21938393, 0.04890051, 0.01304838, 0.00377935])
|
|||
|
|
>>> sc.exp1(x)
|
|||
|
|
array([0.21938393, 0.04890051, 0.01304838, 0.00377935]) fdtr(dfn, dfd, x, out=None)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
F cumulative distribution function.
|
|||
|
|
|
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|
|
Returns the value of the cumulative distribution function of the
|
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|
|
F-distribution, also known as Snedecor's F-distribution or the
|
|||
|
|
Fisher-Snedecor distribution.
|
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|
|
|
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|
|
The F-distribution with parameters :math:`d_n` and :math:`d_d` is the
|
|||
|
|
distribution of the random variable,
|
|||
|
|
|
|||
|
|
.. math::
|
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|
|
X = \frac{U_n/d_n}{U_d/d_d},
|
|||
|
|
|
|||
|
|
where :math:`U_n` and :math:`U_d` are random variables distributed
|
|||
|
|
:math:`\chi^2`, with :math:`d_n` and :math:`d_d` degrees of freedom,
|
|||
|
|
respectively.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
dfn : array_like
|
|||
|
|
First parameter (positive float).
|
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|
|
dfd : array_like
|
|||
|
|
Second parameter (positive float).
|
|||
|
|
x : array_like
|
|||
|
|
Argument (nonnegative float).
|
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|
|
out : ndarray, optional
|
|||
|
|
Optional output array for the function values
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
y : scalar or ndarray
|
|||
|
|
The CDF of the F-distribution with parameters `dfn` and `dfd` at `x`.
|
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|
|
|
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|
|
See Also
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|
--------
|
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|
|
fdtrc : F distribution survival function
|
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|
|
fdtri : F distribution inverse cumulative distribution
|
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|
|
scipy.stats.f : F distribution
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Notes
|
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-----
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|
The regularized incomplete beta function is used, according to the
|
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|
|
formula,
|
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|
|
|
|||
|
|
.. math::
|
|||
|
|
F(d_n, d_d; x) = I_{xd_n/(d_d + xd_n)}(d_n/2, d_d/2).
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Wrapper for a routine from the Boost Math C++ library [1]_. The
|
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|
|
F distribution is also available as `scipy.stats.f`. Calling
|
|||
|
|
`fdtr` directly can improve performance compared to the ``cdf``
|
|||
|
|
method of `scipy.stats.f` (see last example below).
|
|||
|
|
|
|||
|
|
References
|
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|
----------
|
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|
|
.. [1] The Boost Developers. "Boost C++ Libraries". https://www.boost.org/.
|
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|
|
Examples
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--------
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|
|
Calculate the function for ``dfn=1`` and ``dfd=2`` at ``x=1``.
|
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|||
|
|
>>> import numpy as np
|
|||
|
|
>>> from scipy.special import fdtr
|
|||
|
|
>>> fdtr(1, 2, 1)
|
|||
|
|
0.5773502691896258
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Calculate the function at several points by providing a NumPy array for
|
|||
|
|
`x`.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> x = np.array([0.5, 2., 3.])
|
|||
|
|
>>> fdtr(1, 2, x)
|
|||
|
|
array([0.4472136 , 0.70710678, 0.77459667])
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Plot the function for several parameter sets.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> import matplotlib.pyplot as plt
|
|||
|
|
>>> dfn_parameters = [1, 5, 10, 50]
|
|||
|
|
>>> dfd_parameters = [1, 1, 2, 3]
|
|||
|
|
>>> linestyles = ['solid', 'dashed', 'dotted', 'dashdot']
|
|||
|
|
>>> parameters_list = list(zip(dfn_parameters, dfd_parameters,
|
|||
|
|
... linestyles))
|
|||
|
|
>>> x = np.linspace(0, 30, 1000)
|
|||
|
|
>>> fig, ax = plt.subplots()
|
|||
|
|
>>> for parameter_set in parameters_list:
|
|||
|
|
... dfn, dfd, style = parameter_set
|
|||
|
|
... fdtr_vals = fdtr(dfn, dfd, x)
|
|||
|
|
... ax.plot(x, fdtr_vals, label=rf"$d_n={dfn},\, d_d={dfd}$",
|
|||
|
|
... ls=style)
|
|||
|
|
>>> ax.legend()
|
|||
|
|
>>> ax.set_xlabel("$x$")
|
|||
|
|
>>> ax.set_title("F distribution cumulative distribution function")
|
|||
|
|
>>> plt.show()
|
|||
|
|
|
|||
|
|
The F distribution is also available as `scipy.stats.f`. Using `fdtr`
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directly can be much faster than calling the ``cdf`` method of
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`scipy.stats.f`, especially for small arrays or individual values.
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To get the same results one must use the following parametrization:
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|
``stats.f(dfn, dfd).cdf(x)=fdtr(dfn, dfd, x)``.
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>>> from scipy.stats import f
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|
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>>> dfn, dfd = 1, 2
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>>> x = 1
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|
|
>>> fdtr_res = fdtr(dfn, dfd, x) # this will often be faster than below
|
|||
|
|
>>> f_dist_res = f(dfn, dfd).cdf(x)
|
|||
|
|
>>> fdtr_res == f_dist_res # test that results are equal
|
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|
|
True fdtrc(dfn, dfd, x, out=None)
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|
F survival function.
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Returns the complemented F-distribution function (the integral of the
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density from `x` to infinity).
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Parameters
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----------
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dfn : array_like
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First parameter (positive float).
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dfd : array_like
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|
|
Second parameter (positive float).
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|
x : array_like
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|
Argument (nonnegative float).
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|
out : ndarray, optional
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|
Optional output array for the function values
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Returns
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-------
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y : scalar or ndarray
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The complemented F-distribution function with parameters `dfn` and
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`dfd` at `x`.
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See Also
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--------
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fdtr : F distribution cumulative distribution function
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fdtri : F distribution inverse cumulative distribution function
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scipy.stats.f : F distribution
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Notes
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The regularized incomplete beta function is used, according to the
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formula,
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.. math::
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F(d_n, d_d; x) = I_{d_d/(d_d + xd_n)}(d_d/2, d_n/2).
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|
Wrapper for a routine from the Boost Math C++ library [1]_. The
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F distribution is also available as `scipy.stats.f`. Calling
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|
`fdtrc` directly can improve performance compared to the ``sf``
|
|||
|
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method of `scipy.stats.f` (see last example below).
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|
References
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|
.. [1] The Boost Developers. "Boost C++ Libraries". https://www.boost.org/.
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Examples
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--------
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Calculate the function for ``dfn=1`` and ``dfd=2`` at ``x=1``.
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>>> import numpy as np
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>>> from scipy.special import fdtrc
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>>> fdtrc(1, 2, 1)
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|||
|
|
0.42264973081037427
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|
Calculate the function at several points by providing a NumPy array for
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`x`.
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>>> x = np.array([0.5, 2., 3.])
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>>> fdtrc(1, 2, x)
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|
array([0.5527864 , 0.29289322, 0.22540333])
|
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|
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|
Plot the function for several parameter sets.
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|
|
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|
>>> import matplotlib.pyplot as plt
|
|||
|
|
>>> dfn_parameters = [1, 5, 10, 50]
|
|||
|
|
>>> dfd_parameters = [1, 1, 2, 3]
|
|||
|
|
>>> linestyles = ['solid', 'dashed', 'dotted', 'dashdot']
|
|||
|
|
>>> parameters_list = list(zip(dfn_parameters, dfd_parameters,
|
|||
|
|
... linestyles))
|
|||
|
|
>>> x = np.linspace(0, 30, 1000)
|
|||
|
|
>>> fig, ax = plt.subplots()
|
|||
|
|
>>> for parameter_set in parameters_list:
|
|||
|
|
... dfn, dfd, style = parameter_set
|
|||
|
|
... fdtrc_vals = fdtrc(dfn, dfd, x)
|
|||
|
|
... ax.plot(x, fdtrc_vals, label=rf"$d_n={dfn},\, d_d={dfd}$",
|
|||
|
|
... ls=style)
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|||
|
|
>>> ax.legend()
|
|||
|
|
>>> ax.set_xlabel("$x$")
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|
>>> ax.set_title("F distribution survival function")
|
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|
>>> plt.show()
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|
|
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|
The F distribution is also available as `scipy.stats.f`. Using `fdtrc`
|
|||
|
|
directly can be much faster than calling the ``sf`` method of
|
|||
|
|
`scipy.stats.f`, especially for small arrays or individual values.
|
|||
|
|
To get the same results one must use the following parametrization:
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|
|
``stats.f(dfn, dfd).sf(x)=fdtrc(dfn, dfd, x)``.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> from scipy.stats import f
|
|||
|
|
>>> dfn, dfd = 1, 2
|
|||
|
|
>>> x = 1
|
|||
|
|
>>> fdtrc_res = fdtrc(dfn, dfd, x) # this will often be faster than below
|
|||
|
|
>>> f_dist_res = f(dfn, dfd).sf(x)
|
|||
|
|
>>> f_dist_res == fdtrc_res # test that results are equal
|
|||
|
|
True fdtri(dfn, dfd, p, out=None)
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|
|
The `p`-th quantile of the F-distribution.
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This function is the inverse of the F-distribution CDF, `fdtr`, returning
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the `x` such that `fdtr(dfn, dfd, x) = p`.
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|
Parameters
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|
----------
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dfn : array_like
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|
First parameter (positive float).
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|
dfd : array_like
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|||
|
|
Second parameter (positive float).
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|
|
p : array_like
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|
|
Cumulative probability, in [0, 1].
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|
|
out : ndarray, optional
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|
|
Optional output array for the function values
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|
|
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|
|
Returns
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|
-------
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|
|
x : scalar or ndarray
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The quantile corresponding to `p`.
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See Also
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--------
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|
fdtr : F distribution cumulative distribution function
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|
fdtrc : F distribution survival function
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|
|
scipy.stats.f : F distribution
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|
|
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|
Notes
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|
Wrapper for a routine from the Boost Math C++ library [1]_. The
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|
F distribution is also available as `scipy.stats.f`. Calling
|
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|
|
`fdtri` directly can improve performance compared to the ``ppf``
|
|||
|
|
method of `scipy.stats.f` (see last example below).
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|
References
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----------
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|
|
.. [1] The Boost Developers. "Boost C++ Libraries". https://www.boost.org/.
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Examples
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--------
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`fdtri` represents the inverse of the F distribution CDF which is
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available as `fdtr`. Here, we calculate the CDF for ``df1=1``, ``df2=2``
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at ``x=3``. `fdtri` then returns ``3`` given the same values for `df1`,
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|
`df2` and the computed CDF value.
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|||
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|
>>> import numpy as np
|
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|
|
>>> from scipy.special import fdtri, fdtr
|
|||
|
|
>>> df1, df2 = 1, 2
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|||
|
|
>>> x = 3
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|||
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>>> cdf_value = fdtr(df1, df2, x)
|
|||
|
|
>>> fdtri(df1, df2, cdf_value)
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|||
|
|
3.000000000000006
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Calculate the function at several points by providing a NumPy array for
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`x`.
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>>> x = np.array([0.1, 0.4, 0.7])
|
|||
|
|
>>> fdtri(1, 2, x)
|
|||
|
|
array([0.02020202, 0.38095238, 1.92156863])
|
|||
|
|
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|||
|
|
Plot the function for several parameter sets.
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|
|
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>>> import matplotlib.pyplot as plt
|
|||
|
|
>>> dfn_parameters = [50, 10, 1, 50]
|
|||
|
|
>>> dfd_parameters = [0.5, 1, 1, 5]
|
|||
|
|
>>> linestyles = ['solid', 'dashed', 'dotted', 'dashdot']
|
|||
|
|
>>> parameters_list = list(zip(dfn_parameters, dfd_parameters,
|
|||
|
|
... linestyles))
|
|||
|
|
>>> x = np.linspace(0, 1, 1000)
|
|||
|
|
>>> fig, ax = plt.subplots()
|
|||
|
|
>>> for parameter_set in parameters_list:
|
|||
|
|
... dfn, dfd, style = parameter_set
|
|||
|
|
... fdtri_vals = fdtri(dfn, dfd, x)
|
|||
|
|
... ax.plot(x, fdtri_vals, label=rf"$d_n={dfn},\, d_d={dfd}$",
|
|||
|
|
... ls=style)
|
|||
|
|
>>> ax.legend()
|
|||
|
|
>>> ax.set_xlabel("$x$")
|
|||
|
|
>>> title = "F distribution inverse cumulative distribution function"
|
|||
|
|
>>> ax.set_title(title)
|
|||
|
|
>>> ax.set_ylim(0, 30)
|
|||
|
|
>>> plt.show()
|
|||
|
|
|
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|
|
The F distribution is also available as `scipy.stats.f`. Using `fdtri`
|
|||
|
|
directly can be much faster than calling the ``ppf`` method of
|
|||
|
|
`scipy.stats.f`, especially for small arrays or individual values.
|
|||
|
|
To get the same results one must use the following parametrization:
|
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|
|
``stats.f(dfn, dfd).ppf(x)=fdtri(dfn, dfd, x)``.
|
|||
|
|
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|||
|
|
>>> from scipy.stats import f
|
|||
|
|
>>> dfn, dfd = 1, 2
|
|||
|
|
>>> x = 0.7
|
|||
|
|
>>> fdtri_res = fdtri(dfn, dfd, x) # this will often be faster than below
|
|||
|
|
>>> f_dist_res = f(dfn, dfd).ppf(x)
|
|||
|
|
>>> f_dist_res == fdtri_res # test that results are equal
|
|||
|
|
True fdtridfd(dfn, p, x, out=None)
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|
|
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|
|
Inverse to `fdtr` vs dfd
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Finds the F density argument dfd such that ``fdtr(dfn, dfd, x) == p``.
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|
Parameters
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|
|
----------
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dfn : array_like
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|||
|
|
First parameter (positive float).
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|
|
p : array_like
|
|||
|
|
Cumulative probability, in [0, 1].
|
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|
|
x : array_like
|
|||
|
|
Argument (nonnegative float).
|
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|
|
out : ndarray, optional
|
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|
|
Optional output array for the function values
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|
|
|
|||
|
|
Returns
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|||
|
|
-------
|
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|
|
dfd : scalar or ndarray
|
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|
|
`dfd` such that ``fdtr(dfn, dfd, x) == p``.
|
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|
|
|
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|
|
See Also
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|
--------
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|
|
fdtr : F distribution cumulative distribution function
|
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|
|
fdtrc : F distribution survival function
|
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|
|
fdtri : F distribution quantile function
|
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|
|
scipy.stats.f : F distribution
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|
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|
Examples
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--------
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|
|
Compute the F distribution cumulative distribution function for one
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parameter set.
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|
|
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|
|
>>> from scipy.special import fdtridfd, fdtr
|
|||
|
|
>>> dfn, dfd, x = 10, 5, 2
|
|||
|
|
>>> cdf_value = fdtr(dfn, dfd, x)
|
|||
|
|
>>> cdf_value
|
|||
|
|
0.7700248806501017
|
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|
|
|
|||
|
|
Verify that `fdtridfd` recovers the original value for `dfd`:
|
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|
|
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|
|
>>> fdtridfd(dfn, cdf_value, x)
|
|||
|
|
5.0 gdtr(a, b, x, out=None)
|
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|
|
|
|||
|
|
Gamma distribution cumulative distribution function.
|
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|
|
|
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|
|
Returns the integral from zero to `x` of the gamma probability density
|
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|
|
function,
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|
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|
|
.. math::
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|
F = \int_0^x \frac{a^b}{\Gamma(b)} t^{b-1} e^{-at}\,dt,
|
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|
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|
|
where :math:`\Gamma` is the gamma function.
|
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|
|
|
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|
|
Parameters
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----------
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|
|
a : array_like
|
|||
|
|
The rate parameter of the gamma distribution, sometimes denoted
|
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|
|
:math:`\beta` (float). It is also the reciprocal of the scale
|
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|
|
parameter :math:`\theta`.
|
|||
|
|
b : array_like
|
|||
|
|
The shape parameter of the gamma distribution, sometimes denoted
|
|||
|
|
:math:`\alpha` (float).
|
|||
|
|
x : array_like
|
|||
|
|
The quantile (upper limit of integration; float).
|
|||
|
|
out : ndarray, optional
|
|||
|
|
Optional output array for the function values
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
F : scalar or ndarray
|
|||
|
|
The CDF of the gamma distribution with parameters `a` and `b`
|
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|
|
evaluated at `x`.
|
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|
|
|
|||
|
|
See Also
|
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|
|
--------
|
|||
|
|
gdtrc : 1 - CDF of the gamma distribution.
|
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|
|
scipy.stats.gamma: Gamma distribution
|
|||
|
|
|
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|
|
Notes
|
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|
|
-----
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|
|
The evaluation is carried out using the relation to the incomplete gamma
|
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|
|
integral (regularized gamma function).
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Wrapper for the Cephes [1]_ routine `gdtr`. Calling `gdtr` directly can
|
|||
|
|
improve performance compared to the ``cdf`` method of `scipy.stats.gamma`
|
|||
|
|
(see last example below).
|
|||
|
|
|
|||
|
|
References
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
.. [1] Cephes Mathematical Functions Library,
|
|||
|
|
http://www.netlib.org/cephes/
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Examples
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|
--------
|
|||
|
|
Compute the function for ``a=1``, ``b=2`` at ``x=5``.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> import numpy as np
|
|||
|
|
>>> from scipy.special import gdtr
|
|||
|
|
>>> import matplotlib.pyplot as plt
|
|||
|
|
>>> gdtr(1., 2., 5.)
|
|||
|
|
0.9595723180054873
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Compute the function for ``a=1`` and ``b=2`` at several points by
|
|||
|
|
providing a NumPy array for `x`.
|
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|
|
|
|||
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|
>>> xvalues = np.array([1., 2., 3., 4])
|
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|
|
>>> gdtr(1., 1., xvalues)
|
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|
|
array([0.63212056, 0.86466472, 0.95021293, 0.98168436])
|
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|
|
|
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|
|
`gdtr` can evaluate different parameter sets by providing arrays with
|
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|
|
broadcasting compatible shapes for `a`, `b` and `x`. Here we compute the
|
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|
|
function for three different `a` at four positions `x` and ``b=3``,
|
|||
|
|
resulting in a 3x4 array.
|
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|
|
|
|||
|
|
>>> a = np.array([[0.5], [1.5], [2.5]])
|
|||
|
|
>>> x = np.array([1., 2., 3., 4])
|
|||
|
|
>>> a.shape, x.shape
|
|||
|
|
((3, 1), (4,))
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> gdtr(a, 3., x)
|
|||
|
|
array([[0.01438768, 0.0803014 , 0.19115317, 0.32332358],
|
|||
|
|
[0.19115317, 0.57680992, 0.82642193, 0.9380312 ],
|
|||
|
|
[0.45618688, 0.87534798, 0.97974328, 0.9972306 ]])
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Plot the function for four different parameter sets.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> a_parameters = [0.3, 1, 2, 6]
|
|||
|
|
>>> b_parameters = [2, 10, 15, 20]
|
|||
|
|
>>> linestyles = ['solid', 'dashed', 'dotted', 'dashdot']
|
|||
|
|
>>> parameters_list = list(zip(a_parameters, b_parameters, linestyles))
|
|||
|
|
>>> x = np.linspace(0, 30, 1000)
|
|||
|
|
>>> fig, ax = plt.subplots()
|
|||
|
|
>>> for parameter_set in parameters_list:
|
|||
|
|
... a, b, style = parameter_set
|
|||
|
|
... gdtr_vals = gdtr(a, b, x)
|
|||
|
|
... ax.plot(x, gdtr_vals, label=fr"$a= {a},\, b={b}$", ls=style)
|
|||
|
|
>>> ax.legend()
|
|||
|
|
>>> ax.set_xlabel("$x$")
|
|||
|
|
>>> ax.set_title("Gamma distribution cumulative distribution function")
|
|||
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|
>>> plt.show()
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|||
|
|
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|
The gamma distribution is also available as `scipy.stats.gamma`. Using
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|
|
`gdtr` directly can be much faster than calling the ``cdf`` method of
|
|||
|
|
`scipy.stats.gamma`, especially for small arrays or individual values.
|
|||
|
|
To get the same results one must use the following parametrization:
|
|||
|
|
``stats.gamma(b, scale=1/a).cdf(x)=gdtr(a, b, x)``.
|
|||
|
|
|
|||
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>>> from scipy.stats import gamma
|
|||
|
|
>>> a = 2.
|
|||
|
|
>>> b = 3
|
|||
|
|
>>> x = 1.
|
|||
|
|
>>> gdtr_result = gdtr(a, b, x) # this will often be faster than below
|
|||
|
|
>>> gamma_dist_result = gamma(b, scale=1/a).cdf(x)
|
|||
|
|
>>> gdtr_result == gamma_dist_result # test that results are equal
|
|||
|
|
True gdtrc(a, b, x, out=None)
|
|||
|
|
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|||
|
|
Gamma distribution survival function.
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Integral from `x` to infinity of the gamma probability density function,
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.. math::
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F = \int_x^\infty \frac{a^b}{\Gamma(b)} t^{b-1} e^{-at}\,dt,
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|
where :math:`\Gamma` is the gamma function.
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Parameters
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----------
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a : array_like
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|
The rate parameter of the gamma distribution, sometimes denoted
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:math:`\beta` (float). It is also the reciprocal of the scale
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parameter :math:`\theta`.
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b : array_like
|
|||
|
|
The shape parameter of the gamma distribution, sometimes denoted
|
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|
|
:math:`\alpha` (float).
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|
|
x : array_like
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|||
|
|
The quantile (lower limit of integration; float).
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|
|
out : ndarray, optional
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|
Optional output array for the function values
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Returns
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-------
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|
F : scalar or ndarray
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The survival function of the gamma distribution with parameters `a`
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and `b` evaluated at `x`.
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See Also
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--------
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gdtr: Gamma distribution cumulative distribution function
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scipy.stats.gamma: Gamma distribution
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gdtrix
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Notes
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The evaluation is carried out using the relation to the incomplete gamma
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|
integral (regularized gamma function).
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|
Wrapper for the Cephes [1]_ routine `gdtrc`. Calling `gdtrc` directly can
|
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|
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improve performance compared to the ``sf`` method of `scipy.stats.gamma`
|
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|
|
(see last example below).
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|
References
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----------
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|
|
.. [1] Cephes Mathematical Functions Library,
|
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|
http://www.netlib.org/cephes/
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|
Examples
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--------
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|
|
Compute the function for ``a=1`` and ``b=2`` at ``x=5``.
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|
>>> import numpy as np
|
|||
|
|
>>> from scipy.special import gdtrc
|
|||
|
|
>>> import matplotlib.pyplot as plt
|
|||
|
|
>>> gdtrc(1., 2., 5.)
|
|||
|
|
0.04042768199451279
|
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|||
|
|
Compute the function for ``a=1``, ``b=2`` at several points by providing
|
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|
|
a NumPy array for `x`.
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|
|
|
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|
>>> xvalues = np.array([1., 2., 3., 4])
|
|||
|
|
>>> gdtrc(1., 1., xvalues)
|
|||
|
|
array([0.36787944, 0.13533528, 0.04978707, 0.01831564])
|
|||
|
|
|
|||
|
|
`gdtrc` can evaluate different parameter sets by providing arrays with
|
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|
|
broadcasting compatible shapes for `a`, `b` and `x`. Here we compute the
|
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|
|
function for three different `a` at four positions `x` and ``b=3``,
|
|||
|
|
resulting in a 3x4 array.
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|
|
|||
|
|
>>> a = np.array([[0.5], [1.5], [2.5]])
|
|||
|
|
>>> x = np.array([1., 2., 3., 4])
|
|||
|
|
>>> a.shape, x.shape
|
|||
|
|
((3, 1), (4,))
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> gdtrc(a, 3., x)
|
|||
|
|
array([[0.98561232, 0.9196986 , 0.80884683, 0.67667642],
|
|||
|
|
[0.80884683, 0.42319008, 0.17357807, 0.0619688 ],
|
|||
|
|
[0.54381312, 0.12465202, 0.02025672, 0.0027694 ]])
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Plot the function for four different parameter sets.
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|
|
|
|||
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|
>>> a_parameters = [0.3, 1, 2, 6]
|
|||
|
|
>>> b_parameters = [2, 10, 15, 20]
|
|||
|
|
>>> linestyles = ['solid', 'dashed', 'dotted', 'dashdot']
|
|||
|
|
>>> parameters_list = list(zip(a_parameters, b_parameters, linestyles))
|
|||
|
|
>>> x = np.linspace(0, 30, 1000)
|
|||
|
|
>>> fig, ax = plt.subplots()
|
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|
>>> for parameter_set in parameters_list:
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|
... a, b, style = parameter_set
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|
... gdtrc_vals = gdtrc(a, b, x)
|
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|
|
... ax.plot(x, gdtrc_vals, label=fr"$a= {a},\, b={b}$", ls=style)
|
|||
|
|
>>> ax.legend()
|
|||
|
|
>>> ax.set_xlabel("$x$")
|
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|
|
>>> ax.set_title("Gamma distribution survival function")
|
|||
|
|
>>> plt.show()
|
|||
|
|
|
|||
|
|
The gamma distribution is also available as `scipy.stats.gamma`.
|
|||
|
|
Using `gdtrc` directly can be much faster than calling the ``sf`` method
|
|||
|
|
of `scipy.stats.gamma`, especially for small arrays or individual
|
|||
|
|
values. To get the same results one must use the following parametrization:
|
|||
|
|
``stats.gamma(b, scale=1/a).sf(x)=gdtrc(a, b, x)``.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> from scipy.stats import gamma
|
|||
|
|
>>> a = 2
|
|||
|
|
>>> b = 3
|
|||
|
|
>>> x = 1.
|
|||
|
|
>>> gdtrc_result = gdtrc(a, b, x) # this will often be faster than below
|
|||
|
|
>>> gamma_dist_result = gamma(b, scale=1/a).sf(x)
|
|||
|
|
>>> gdtrc_result == gamma_dist_result # test that results are equal
|
|||
|
|
True gdtria(p, b, x, out=None)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Inverse of `gdtr` vs a.
|
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|
|
|
|||
|
|
Returns the inverse with respect to the parameter `a` of ``p =
|
|||
|
|
gdtr(a, b, x)``, the cumulative distribution function of the gamma
|
|||
|
|
distribution.
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|
Parameters
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----------
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p : array_like
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|||
|
|
Probability values.
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|
|
b : array_like
|
|||
|
|
`b` parameter values of `gdtr(a, b, x)`. `b` is the "shape" parameter
|
|||
|
|
of the gamma distribution.
|
|||
|
|
x : array_like
|
|||
|
|
Nonnegative real values, from the domain of the gamma distribution.
|
|||
|
|
out : ndarray, optional
|
|||
|
|
If a fourth argument is given, it must be a numpy.ndarray whose size
|
|||
|
|
matches the broadcast result of `a`, `b` and `x`. `out` is then the
|
|||
|
|
array returned by the function.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
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|
|
a : scalar or ndarray
|
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|
|
Values of the `a` parameter such that ``p = gdtr(a, b, x)`. ``1/a``
|
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|
|
is the "scale" parameter of the gamma distribution.
|
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|
|
|
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|
See Also
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--------
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|
|
gdtr : CDF of the gamma distribution.
|
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|
|
gdtrib : Inverse with respect to `b` of `gdtr(a, b, x)`.
|
|||
|
|
gdtrix : Inverse with respect to `x` of `gdtr(a, b, x)`.
|
|||
|
|
|
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|
|
Notes
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|
|
Wrapper for the CDFLIB [1]_ Fortran routine `cdfgam`.
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|
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|
The cumulative distribution function `p` is computed using a routine by
|
|||
|
|
DiDinato and Morris [2]_. Computation of `a` involves a search for a value
|
|||
|
|
that produces the desired value of `p`. The search relies on the
|
|||
|
|
monotonicity of `p` with `a`.
|
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|
|
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|
|
References
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|
----------
|
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|
|
.. [1] Barry Brown, James Lovato, and Kathy Russell,
|
|||
|
|
CDFLIB: Library of Fortran Routines for Cumulative Distribution
|
|||
|
|
Functions, Inverses, and Other Parameters.
|
|||
|
|
.. [2] DiDinato, A. R. and Morris, A. H.,
|
|||
|
|
Computation of the incomplete gamma function ratios and their
|
|||
|
|
inverse. ACM Trans. Math. Softw. 12 (1986), 377-393.
|
|||
|
|
|
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|
|
Examples
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|
|
--------
|
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|
|
First evaluate `gdtr`.
|
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|
|
|
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|
|
>>> from scipy.special import gdtr, gdtria
|
|||
|
|
>>> p = gdtr(1.2, 3.4, 5.6)
|
|||
|
|
>>> print(p)
|
|||
|
|
0.94378087442
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Verify the inverse.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> gdtria(p, 3.4, 5.6)
|
|||
|
|
1.2 gdtrib(a, p, x, out=None)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Inverse of `gdtr` vs b.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns the inverse with respect to the parameter `b` of ``p =
|
|||
|
|
gdtr(a, b, x)``, the cumulative distribution function of the gamma
|
|||
|
|
distribution.
|
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|
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|
|
Parameters
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|
|
----------
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|
|
a : array_like
|
|||
|
|
`a` parameter values of ``gdtr(a, b, x)`. ``1/a`` is the "scale"
|
|||
|
|
parameter of the gamma distribution.
|
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|
|
p : array_like
|
|||
|
|
Probability values.
|
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|
|
x : array_like
|
|||
|
|
Nonnegative real values, from the domain of the gamma distribution.
|
|||
|
|
out : ndarray, optional
|
|||
|
|
If a fourth argument is given, it must be a numpy.ndarray whose size
|
|||
|
|
matches the broadcast result of `a`, `b` and `x`. `out` is then the
|
|||
|
|
array returned by the function.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
b : scalar or ndarray
|
|||
|
|
Values of the `b` parameter such that `p = gdtr(a, b, x)`. `b` is
|
|||
|
|
the "shape" parameter of the gamma distribution.
|
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|
|
|
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|
|
See Also
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--------
|
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|
|
gdtr : CDF of the gamma distribution.
|
|||
|
|
gdtria : Inverse with respect to `a` of `gdtr(a, b, x)`.
|
|||
|
|
gdtrix : Inverse with respect to `x` of `gdtr(a, b, x)`.
|
|||
|
|
|
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|
|
Notes
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|
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|
|
The cumulative distribution function `p` is computed using the Cephes [1]_
|
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|
|
routines `igam` and `igamc`. Computation of `b` involves a search for a value
|
|||
|
|
that produces the desired value of `p` using Chandrupatla's bracketing
|
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|
|
root finding algorithm [2]_.
|
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|
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|
|
Note that there are some edge cases where `gdtrib` is extended by taking
|
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|
|
limits where they are uniquely defined. In particular
|
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|
|
``x == 0`` with ``p > 0`` and ``p == 0`` with ``x > 0``.
|
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|
|
For these edge cases, a numerical result will be returned for
|
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|
|
``gdtrib(a, p, x)`` even though ``gdtr(a, gdtrib(a, p, x), x)`` is
|
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|
|
undefined.
|
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|
|
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|
|
References
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
.. [1] Cephes Mathematical Functions Library,
|
|||
|
|
http://www.netlib.org/cephes/
|
|||
|
|
.. [2] Chandrupatla, Tirupathi R.
|
|||
|
|
"A new hybrid quadratic/bisection algorithm for finding the zero of a
|
|||
|
|
nonlinear function without using derivatives".
|
|||
|
|
Advances in Engineering Software, 28(3), 145-149.
|
|||
|
|
https://doi.org/10.1016/s0965-9978(96)00051-8
|
|||
|
|
|
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|
|
Examples
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|
|
--------
|
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|
|
First evaluate `gdtr`.
|
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|
|
|
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|
|
>>> from scipy.special import gdtr, gdtrib
|
|||
|
|
>>> p = gdtr(1.2, 3.4, 5.6)
|
|||
|
|
>>> print(p)
|
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|
|
0.94378087442
|
|||
|
|
|
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|
|
Verify the inverse.
|
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|
|
|
|||
|
|
>>> gdtrib(1.2, p, 5.6)
|
|||
|
|
3.3999999999999995 gdtrix(a, b, p, out=None)
|
|||
|
|
|
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|
|
Inverse of `gdtr` vs x.
|
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|
|
|
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|
|
Returns the inverse with respect to the parameter `x` of ``p =
|
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|
|
gdtr(a, b, x)``, the cumulative distribution function of the gamma
|
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|
|
distribution. This is also known as the pth quantile of the
|
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|
|
distribution.
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|
Parameters
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|
|
----------
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|
|
a : array_like
|
|||
|
|
`a` parameter values of ``gdtr(a, b, x)``. ``1/a`` is the "scale"
|
|||
|
|
parameter of the gamma distribution.
|
|||
|
|
b : array_like
|
|||
|
|
`b` parameter values of ``gdtr(a, b, x)``. `b` is the "shape" parameter
|
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|
|
of the gamma distribution.
|
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|
|
p : array_like
|
|||
|
|
Probability values.
|
|||
|
|
out : ndarray, optional
|
|||
|
|
If a fourth argument is given, it must be a numpy.ndarray whose size
|
|||
|
|
matches the broadcast result of `a`, `b` and `x`. `out` is then the
|
|||
|
|
array returned by the function.
|
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|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
x : scalar or ndarray
|
|||
|
|
Values of the `x` parameter such that `p = gdtr(a, b, x)`.
|
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|
|
|
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|
|
See Also
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|
|
--------
|
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|
|
gdtr : CDF of the gamma distribution.
|
|||
|
|
gdtria : Inverse with respect to `a` of ``gdtr(a, b, x)``.
|
|||
|
|
gdtrib : Inverse with respect to `b` of ``gdtr(a, b, x)``.
|
|||
|
|
|
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|
|
Notes
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|
|
Wrapper for the CDFLIB [1]_ Fortran routine `cdfgam`.
|
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|
|
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|
|
The cumulative distribution function `p` is computed using a routine by
|
|||
|
|
DiDinato and Morris [2]_. Computation of `x` involves a search for a value
|
|||
|
|
that produces the desired value of `p`. The search relies on the
|
|||
|
|
monotonicity of `p` with `x`.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
References
|
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|
|
----------
|
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|
|
.. [1] Barry Brown, James Lovato, and Kathy Russell,
|
|||
|
|
CDFLIB: Library of Fortran Routines for Cumulative Distribution
|
|||
|
|
Functions, Inverses, and Other Parameters.
|
|||
|
|
.. [2] DiDinato, A. R. and Morris, A. H.,
|
|||
|
|
Computation of the incomplete gamma function ratios and their
|
|||
|
|
inverse. ACM Trans. Math. Softw. 12 (1986), 377-393.
|
|||
|
|
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|
Examples
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|
--------
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|
|
First evaluate `gdtr`.
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|
|
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|
>>> from scipy.special import gdtr, gdtrix
|
|||
|
|
>>> p = gdtr(1.2, 3.4, 5.6)
|
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|
|
>>> print(p)
|
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|
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0.94378087442
|
|||
|
|
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|
|
Verify the inverse.
|
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|
|
|
|||
|
|
>>> gdtrix(1.2, 3.4, p)
|
|||
|
|
5.5999999999999996 huber(delta, r, out=None)
|
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|
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|
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|
|
Huber loss function.
|
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|
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|
.. math:: \text{huber}(\delta, r) = \begin{cases} \infty & \delta < 0 \\
|
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|
|
\frac{1}{2}r^2 & 0 \le \delta, | r | \le \delta \\
|
|||
|
|
\delta ( |r| - \frac{1}{2}\delta ) & \text{otherwise} \end{cases}
|
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|
|
|
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|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
delta : ndarray
|
|||
|
|
Input array, indicating the quadratic vs. linear loss changepoint.
|
|||
|
|
r : ndarray
|
|||
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|
Input array, possibly representing residuals.
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out : ndarray, optional
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Optional output array for the function values
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Returns
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-------
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scalar or ndarray
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The computed Huber loss function values.
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See Also
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pseudo_huber : smooth approximation of this function
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Notes
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`huber` is useful as a loss function in robust statistics or machine
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learning to reduce the influence of outliers as compared to the common
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squared error loss, residuals with a magnitude higher than `delta` are
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not squared [1]_.
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Typically, `r` represents residuals, the difference
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between a model prediction and data. Then, for :math:`|r|\leq\delta`,
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`huber` resembles the squared error and for :math:`|r|>\delta` the
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absolute error. This way, the Huber loss often achieves
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a fast convergence in model fitting for small residuals like the squared
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error loss function and still reduces the influence of outliers
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(:math:`|r|>\delta`) like the absolute error loss. As :math:`\delta` is
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the cutoff between squared and absolute error regimes, it has
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to be tuned carefully for each problem. `huber` is also
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convex, making it suitable for gradient based optimization.
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.. versionadded:: 0.15.0
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References
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.. [1] Peter Huber. "Robust Estimation of a Location Parameter",
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1964. Annals of Statistics. 53 (1): 73 - 101.
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Examples
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Import all necessary modules.
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>>> import numpy as np
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>>> from scipy.special import huber
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>>> import matplotlib.pyplot as plt
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Compute the function for ``delta=1`` at ``r=2``
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>>> huber(1., 2.)
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1.5
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Compute the function for different `delta` by providing a NumPy array or
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list for `delta`.
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>>> huber([1., 3., 5.], 4.)
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array([3.5, 7.5, 8. ])
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Compute the function at different points by providing a NumPy array or
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list for `r`.
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>>> huber(2., np.array([1., 1.5, 3.]))
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array([0.5 , 1.125, 4. ])
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The function can be calculated for different `delta` and `r` by
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providing arrays for both with compatible shapes for broadcasting.
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>>> r = np.array([1., 2.5, 8., 10.])
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>>> deltas = np.array([[1.], [5.], [9.]])
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>>> print(r.shape, deltas.shape)
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(4,) (3, 1)
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>>> huber(deltas, r)
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array([[ 0.5 , 2. , 7.5 , 9.5 ],
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|
|
[ 0.5 , 3.125, 27.5 , 37.5 ],
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|
[ 0.5 , 3.125, 32. , 49.5 ]])
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|
Plot the function for different `delta`.
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>>> x = np.linspace(-4, 4, 500)
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>>> deltas = [1, 2, 3]
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>>> linestyles = ["dashed", "dotted", "dashdot"]
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>>> fig, ax = plt.subplots()
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>>> combined_plot_parameters = list(zip(deltas, linestyles))
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>>> for delta, style in combined_plot_parameters:
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... ax.plot(x, huber(delta, x), label=fr"$\delta={delta}$", ls=style)
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>>> ax.legend(loc="upper center")
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>>> ax.set_xlabel("$x$")
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>>> ax.set_title(r"Huber loss function $h_{\delta}(x)$")
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>>> ax.set_xlim(-4, 4)
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>>> ax.set_ylim(0, 8)
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|
>>> plt.show() hyp0f1(v, z, out=None)
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Confluent hypergeometric limit function 0F1.
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Parameters
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----------
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v : array_like
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Real-valued parameter
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z : array_like
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Real- or complex-valued argument
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|
out : ndarray, optional
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Optional output array for the function results
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Returns
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-------
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|
scalar or ndarray
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|
The confluent hypergeometric limit function
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Notes
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This function is defined as:
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.. math:: _0F_1(v, z) = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^k}{(v)_k k!}.
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|
It's also the limit as :math:`q \to \infty` of :math:`_1F_1(q; v; z/q)`,
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|
and satisfies the differential equation :math:`f''(z) + vf'(z) =
|
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|
f(z)`. See [1]_ for more information.
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References
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|
.. [1] Wolfram MathWorld, "Confluent Hypergeometric Limit Function",
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|
http://mathworld.wolfram.com/ConfluentHypergeometricLimitFunction.html
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Examples
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--------
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>>> import numpy as np
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|
>>> import scipy.special as sc
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|
|
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It is one when `z` is zero.
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>>> sc.hyp0f1(1, 0)
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|
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1.0
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|
It is the limit of the confluent hypergeometric function as `q`
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|
goes to infinity.
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>>> q = np.array([1, 10, 100, 1000])
|
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>>> v = 1
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>>> z = 1
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|
|
>>> sc.hyp1f1(q, v, z / q)
|
|||
|
|
array([2.71828183, 2.31481985, 2.28303778, 2.27992985])
|
|||
|
|
>>> sc.hyp0f1(v, z)
|
|||
|
|
2.2795853023360673
|
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|
It is related to Bessel functions.
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>>> n = 1
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>>> x = np.linspace(0, 1, 5)
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|
|
>>> sc.jv(n, x)
|
|||
|
|
array([0. , 0.12402598, 0.24226846, 0.3492436 , 0.44005059])
|
|||
|
|
>>> (0.5 * x)**n / sc.factorial(n) * sc.hyp0f1(n + 1, -0.25 * x**2)
|
|||
|
|
array([0. , 0.12402598, 0.24226846, 0.3492436 , 0.44005059]) hyp1f1(a, b, x, out=None)
|
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|
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|
Confluent hypergeometric function 1F1.
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The confluent hypergeometric function is defined by the series
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.. math::
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{}_1F_1(a; b; x) = \sum_{k = 0}^\infty \frac{(a)_k}{(b)_k k!} x^k.
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|
See [DLMF]_ for more details. Here :math:`(\cdot)_k` is the
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|
Pochhammer symbol; see `poch`.
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Parameters
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----------
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a, b : array_like
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|
Real parameters
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x : array_like
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|
Real or complex argument
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|
|
out : ndarray, optional
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|
Optional output array for the function results
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|
|
|
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|
|
Returns
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|
-------
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|
|
scalar or ndarray
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Values of the confluent hypergeometric function
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See Also
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hyperu : another confluent hypergeometric function
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hyp0f1 : confluent hypergeometric limit function
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hyp2f1 : Gaussian hypergeometric function
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Notes
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For real values, this function uses the ``hyp1f1`` routine from the C++ Boost
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library [2]_, for complex values a C translation of the specfun
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|
Fortran library [3]_.
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References
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|
.. [DLMF] NIST Digital Library of Mathematical Functions
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|
|
https://dlmf.nist.gov/13.2#E2
|
|||
|
|
.. [2] The Boost Developers. "Boost C++ Libraries". https://www.boost.org/.
|
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|
|
.. [3] Zhang, Jin, "Computation of Special Functions", John Wiley
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|
|
and Sons, Inc, 1996.
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|
Examples
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>>> import numpy as np
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>>> import scipy.special as sc
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It is one when `x` is zero:
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|
>>> sc.hyp1f1(0.5, 0.5, 0)
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1.0
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|
|
It is singular when `b` is a nonpositive integer.
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>>> sc.hyp1f1(0.5, -1, 0)
|
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|
inf
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|
It is a polynomial when `a` is a nonpositive integer.
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|
>>> a, b, x = -1, 0.5, np.array([1.0, 2.0, 3.0, 4.0])
|
|||
|
|
>>> sc.hyp1f1(a, b, x)
|
|||
|
|
array([-1., -3., -5., -7.])
|
|||
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|
>>> 1 + (a / b) * x
|
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|
|
array([-1., -3., -5., -7.])
|
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|
|
It reduces to the exponential function when ``a = b``.
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|
|
|
|||
|
|
>>> sc.hyp1f1(2, 2, [1, 2, 3, 4])
|
|||
|
|
array([ 2.71828183, 7.3890561 , 20.08553692, 54.59815003])
|
|||
|
|
>>> np.exp([1, 2, 3, 4])
|
|||
|
|
array([ 2.71828183, 7.3890561 , 20.08553692, 54.59815003]) hyperu(a, b, x, out=None)
|
|||
|
|
|
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|
|
Confluent hypergeometric function U
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It is defined as the solution to the equation
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.. math::
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x \frac{d^2w}{dx^2} + (b - x) \frac{dw}{dx} - aw = 0
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which satisfies the property
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|
.. math::
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U(a, b, x) \sim x^{-a}
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|
as :math:`x \to \infty`. See [DLMF]_ for more details.
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|
Parameters
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|
|
----------
|
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|
|
a, b : array_like
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|
Real-valued parameters
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|
x : array_like
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|
Real-valued argument
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|
out : ndarray, optional
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|
Optional output array for the function values
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|
|
Returns
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|
-------
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|
|
scalar or ndarray
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|
Values of `U`
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|
References
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|||
|
|
----------
|
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|
|
.. [DLMF] NIST Digital Library of Mathematics Functions
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|
|
https://dlmf.nist.gov/13.2#E6
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|
|
Examples
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|
--------
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>>> import numpy as np
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>>> import scipy.special as sc
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|
It has a branch cut along the negative `x` axis.
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>>> x = np.linspace(-0.1, -10, 5)
|
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|
>>> sc.hyperu(1, 1, x)
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|||
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|
array([nan, nan, nan, nan, nan])
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|||
|
|
It approaches zero as `x` goes to infinity.
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|
|
|
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>>> x = np.array([1, 10, 100])
|
|||
|
|
>>> sc.hyperu(1, 1, x)
|
|||
|
|
array([0.59634736, 0.09156333, 0.00990194])
|
|||
|
|
|
|||
|
|
It satisfies Kummer's transformation.
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|
|
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>>> a, b, x = 2, 1, 1
|
|||
|
|
>>> sc.hyperu(a, b, x)
|
|||
|
|
0.1926947246463881
|
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|
|
>>> x**(1 - b) * sc.hyperu(a - b + 1, 2 - b, x)
|
|||
|
|
0.1926947246463881 inv_boxcox(y, lmbda, out=None)
|
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|
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|
|
Compute the inverse of the Box-Cox transformation.
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Find ``x`` such that::
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y = (x**lmbda - 1) / lmbda if lmbda != 0
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log(x) if lmbda == 0
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|
Parameters
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|
----------
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|
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y : array_like
|
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|
Data to be transformed.
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|||
|
|
lmbda : array_like
|
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|
|
Power parameter of the Box-Cox transform.
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|
|
out : ndarray, optional
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|
|
Optional output array for the function values
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|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
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|
|
x : scalar or ndarray
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|
|
Transformed data.
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|
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|
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|
|
Notes
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|
|
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|
|
|
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.. versionadded:: 0.16.0
|
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|
|
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|
Examples
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|
--------
|
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|
|
>>> from scipy.special import boxcox, inv_boxcox
|
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|
|
>>> y = boxcox([1, 4, 10], 2.5)
|
|||
|
|
>>> inv_boxcox(y, 2.5)
|
|||
|
|
array([1., 4., 10.]) inv_boxcox1p(y, lmbda, out=None)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Compute the inverse of the Box-Cox transformation.
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|
|
|
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|
|
Find ``x`` such that::
|
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|
|
|
|||
|
|
y = ((1+x)**lmbda - 1) / lmbda if lmbda != 0
|
|||
|
|
log(1+x) if lmbda == 0
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|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
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|
|
----------
|
|||
|
|
y : array_like
|
|||
|
|
Data to be transformed.
|
|||
|
|
lmbda : array_like
|
|||
|
|
Power parameter of the Box-Cox transform.
|
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|
|
out : ndarray, optional
|
|||
|
|
Optional output array for the function values
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
x : scalar or ndarray
|
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|
|
Transformed data.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Notes
|
|||
|
|
-----
|
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|
|
|
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|
|
.. versionadded:: 0.16.0
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Examples
|
|||
|
|
--------
|
|||
|
|
>>> from scipy.special import boxcox1p, inv_boxcox1p
|
|||
|
|
>>> y = boxcox1p([1, 4, 10], 2.5)
|
|||
|
|
>>> inv_boxcox1p(y, 2.5)
|
|||
|
|
array([1., 4., 10.]) kl_div(x, y, out=None)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Elementwise function for computing Kullback-Leibler divergence.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
.. math::
|
|||
|
|
|
|||
|
|
\mathrm{kl\_div}(x, y) =
|
|||
|
|
\begin{cases}
|
|||
|
|
x \log(x / y) - x + y & x > 0, y > 0 \\
|
|||
|
|
y & x = 0, y \ge 0 \\
|
|||
|
|
\infty & \text{otherwise}
|
|||
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\end{cases}
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Parameters
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----------
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x, y : array_like
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Real arguments
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out : ndarray, optional
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Optional output array for the function results
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Returns
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-------
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|
scalar or ndarray
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Values of the Kullback-Liebler divergence.
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See Also
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entr, rel_entr, scipy.stats.entropy
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Notes
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.. versionadded:: 0.15.0
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This function is non-negative and is jointly convex in `x` and `y`.
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The origin of this function is in convex programming; see [1]_ for
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details. This is why the function contains the extra :math:`-x
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+ y` terms over what might be expected from the Kullback-Leibler
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divergence. For a version of the function without the extra terms,
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see `rel_entr`.
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References
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|
.. [1] Boyd, Stephen and Lieven Vandenberghe. *Convex optimization*.
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|
Cambridge University Press, 2004.
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|
:doi:`https://doi.org/10.1017/CBO9780511804441` kn(n, x, out=None)
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Modified Bessel function of the second kind of integer order `n`
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Returns the modified Bessel function of the second kind for integer order
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`n` at real `z`.
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These are also sometimes called functions of the third kind, Basset
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functions, or Macdonald functions.
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Parameters
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n : array_like of int
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Order of Bessel functions (floats will truncate with a warning)
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x : array_like of float
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Argument at which to evaluate the Bessel functions
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out : ndarray, optional
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Optional output array for the function results.
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|
Returns
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-------
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|
|
scalar or ndarray
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Value of the Modified Bessel function of the second kind,
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:math:`K_n(x)`.
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See Also
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kv : Same function, but accepts real order and complex argument
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kvp : Derivative of this function
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Notes
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Wrapper for AMOS [1]_ routine `zbesk`. For a discussion of the
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algorithm used, see [2]_ and the references therein.
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References
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.. [1] Donald E. Amos, "AMOS, A Portable Package for Bessel Functions
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|
of a Complex Argument and Nonnegative Order",
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|
http://netlib.org/amos/
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|
.. [2] Donald E. Amos, "Algorithm 644: A portable package for Bessel
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|
functions of a complex argument and nonnegative order", ACM
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|
TOMS Vol. 12 Issue 3, Sept. 1986, p. 265
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Examples
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Plot the function of several orders for real input:
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>>> import numpy as np
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|
>>> from scipy.special import kn
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|
>>> import matplotlib.pyplot as plt
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|
>>> x = np.linspace(0, 5, 1000)
|
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|
>>> for N in range(6):
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|
... plt.plot(x, kn(N, x), label='$K_{}(x)$'.format(N))
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|
|
>>> plt.ylim(0, 10)
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|
>>> plt.legend()
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|
>>> plt.title(r'Modified Bessel function of the second kind $K_n(x)$')
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>>> plt.show()
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|
Calculate for a single value at multiple orders:
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>>> kn([4, 5, 6], 1)
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|
array([ 44.23241585, 360.9605896 , 3653.83831186]) kolmogi(p, out=None)
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|
Inverse Survival Function of Kolmogorov distribution
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It is the inverse function to `kolmogorov`.
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Returns y such that ``kolmogorov(y) == p``.
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Parameters
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|
----------
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|
|
p : float array_like
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|
Probability
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|
out : ndarray, optional
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|
Optional output array for the function results
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|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
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|||
|
|
scalar or ndarray
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|
The value(s) of kolmogi(p)
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See Also
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|
kolmogorov : The Survival Function for the distribution
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|
scipy.stats.kstwobign : Provides the functionality as a continuous distribution
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smirnov, smirnovi : Functions for the one-sided distribution
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|
Notes
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`kolmogorov` is used by `stats.kstest` in the application of the
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|
Kolmogorov-Smirnov Goodness of Fit test. For historical reasons this
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|
function is exposed in `scpy.special`, but the recommended way to achieve
|
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|
the most accurate CDF/SF/PDF/PPF/ISF computations is to use the
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|
`stats.kstwobign` distribution.
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|
Examples
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--------
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|
>>> from scipy.special import kolmogi
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|
|
>>> kolmogi([0, 0.1, 0.25, 0.5, 0.75, 0.9, 1.0])
|
|||
|
|
array([ inf, 1.22384787, 1.01918472, 0.82757356, 0.67644769,
|
|||
|
|
0.57117327, 0. ]) kolmogorov(y, out=None)
|
|||
|
|
|
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|
|
Complementary cumulative distribution (Survival Function) function of
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|
Kolmogorov distribution.
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Returns the complementary cumulative distribution function of
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|
Kolmogorov's limiting distribution (``D_n*\sqrt(n)`` as n goes to infinity)
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|
of a two-sided test for equality between an empirical and a theoretical
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|
|
distribution. It is equal to the (limit as n->infinity of the)
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|
|
probability that ``sqrt(n) * max absolute deviation > y``.
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|
|
Parameters
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|
----------
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|
|
y : float array_like
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|
|
Absolute deviation between the Empirical CDF (ECDF) and the target CDF,
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|
|
multiplied by sqrt(n).
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|
|
out : ndarray, optional
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|||
|
|
Optional output array for the function results
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|
|
|
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|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
scalar or ndarray
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|
The value(s) of kolmogorov(y)
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See Also
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kolmogi : The Inverse Survival Function for the distribution
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|
scipy.stats.kstwobign : Provides the functionality as a continuous distribution
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|
smirnov, smirnovi : Functions for the one-sided distribution
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|
Notes
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`kolmogorov` is used by `stats.kstest` in the application of the
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|
Kolmogorov-Smirnov Goodness of Fit test. For historical reasons this
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function is exposed in `scpy.special`, but the recommended way to achieve
|
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|
the most accurate CDF/SF/PDF/PPF/ISF computations is to use the
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|
|
`stats.kstwobign` distribution.
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|
Examples
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--------
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|
Show the probability of a gap at least as big as 0, 0.5 and 1.0.
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>>> import numpy as np
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|||
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|
>>> from scipy.special import kolmogorov
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|||
|
|
>>> from scipy.stats import kstwobign
|
|||
|
|
>>> kolmogorov([0, 0.5, 1.0])
|
|||
|
|
array([ 1. , 0.96394524, 0.26999967])
|
|||
|
|
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|||
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|
Compare a sample of size 1000 drawn from a Laplace(0, 1) distribution against
|
|||
|
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the target distribution, a Normal(0, 1) distribution.
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|
>>> from scipy.stats import norm, laplace
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|
>>> rng = np.random.default_rng()
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|
>>> n = 1000
|
|||
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|
>>> lap01 = laplace(0, 1)
|
|||
|
|
>>> x = np.sort(lap01.rvs(n, random_state=rng))
|
|||
|
|
>>> np.mean(x), np.std(x)
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|||
|
|
(-0.05841730131499543, 1.3968109101997568)
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|
|
Construct the Empirical CDF and the K-S statistic Dn.
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>>> target = norm(0,1) # Normal mean 0, stddev 1
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>>> cdfs = target.cdf(x)
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|
>>> ecdfs = np.arange(n+1, dtype=float)/n
|
|||
|
|
>>> gaps = np.column_stack([cdfs - ecdfs[:n], ecdfs[1:] - cdfs])
|
|||
|
|
>>> Dn = np.max(gaps)
|
|||
|
|
>>> Kn = np.sqrt(n) * Dn
|
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|
|
>>> print('Dn=%f, sqrt(n)*Dn=%f' % (Dn, Kn))
|
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|
|
Dn=0.043363, sqrt(n)*Dn=1.371265
|
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|
|
>>> print(chr(10).join(['For a sample of size n drawn from a N(0, 1) distribution:',
|
|||
|
|
... ' the approximate Kolmogorov probability that sqrt(n)*Dn>=%f is %f' %
|
|||
|
|
... (Kn, kolmogorov(Kn)),
|
|||
|
|
... ' the approximate Kolmogorov probability that sqrt(n)*Dn<=%f is %f' %
|
|||
|
|
... (Kn, kstwobign.cdf(Kn))]))
|
|||
|
|
For a sample of size n drawn from a N(0, 1) distribution:
|
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|
|
the approximate Kolmogorov probability that sqrt(n)*Dn>=1.371265 is 0.046533
|
|||
|
|
the approximate Kolmogorov probability that sqrt(n)*Dn<=1.371265 is 0.953467
|
|||
|
|
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|
|
Plot the Empirical CDF against the target N(0, 1) CDF.
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>>> import matplotlib.pyplot as plt
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|
|
>>> plt.step(np.concatenate([[-3], x]), ecdfs, where='post', label='Empirical CDF')
|
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|
|
>>> x3 = np.linspace(-3, 3, 100)
|
|||
|
|
>>> plt.plot(x3, target.cdf(x3), label='CDF for N(0, 1)')
|
|||
|
|
>>> plt.ylim([0, 1]); plt.grid(True); plt.legend();
|
|||
|
|
>>> # Add vertical lines marking Dn+ and Dn-
|
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|
|
>>> iminus, iplus = np.argmax(gaps, axis=0)
|
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|
|
>>> plt.vlines([x[iminus]], ecdfs[iminus], cdfs[iminus],
|
|||
|
|
... color='r', linestyle='dashed', lw=4)
|
|||
|
|
>>> plt.vlines([x[iplus]], cdfs[iplus], ecdfs[iplus+1],
|
|||
|
|
... color='r', linestyle='dashed', lw=4)
|
|||
|
|
>>> plt.show() lpmv(m, v, x, out=None)
|
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|
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|
Associated Legendre function of integer order and real degree.
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Defined as
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.. math::
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P_v^m = (-1)^m (1 - x^2)^{m/2} \frac{d^m}{dx^m} P_v(x)
|
|||
|
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|||
|
|
where
|
|||
|
|
|
|||
|
|
.. math::
|
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|
|
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|
|
P_v = \sum_{k = 0}^\infty \frac{(-v)_k (v + 1)_k}{(k!)^2}
|
|||
|
|
\left(\frac{1 - x}{2}\right)^k
|
|||
|
|
|
|||
|
|
is the Legendre function of the first kind. Here :math:`(\cdot)_k`
|
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|
is the Pochhammer symbol; see `poch`.
|
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|
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|
Parameters
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|||
|
|
----------
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|
|
m : array_like
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|
|
Order (int or float). If passed a float not equal to an
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|
integer the function returns NaN.
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|
v : array_like
|
|||
|
|
Degree (float).
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|
x : array_like
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|
|
Argument (float). Must have ``|x| <= 1``.
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|
out : ndarray, optional
|
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|
|
Optional output array for the function results
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|
|
|
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|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
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|
|
pmv : scalar or ndarray
|
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|
Value of the associated Legendre function.
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|
Notes
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Note that this implementation includes the Condon-Shortley phase.
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References
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|
.. [1] Zhang, Jin, "Computation of Special Functions", John Wiley
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|
and Sons, Inc, 1996. nbdtr(k, n, p, out=None)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Negative binomial cumulative distribution function.
|
|||
|
|
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|
|
Returns the sum of the terms 0 through `k` of the negative binomial
|
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|
|
distribution probability mass function,
|
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|
|
|
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|
|
.. math::
|
|||
|
|
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|
|
F = \sum_{j=0}^k {{n + j - 1}\choose{j}} p^n (1 - p)^j.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
In a sequence of Bernoulli trials with individual success probabilities
|
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|
|
`p`, this is the probability that `k` or fewer failures precede the nth
|
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|
|
success.
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|
Parameters
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|
----------
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|
|
k : array_like
|
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|
|
The maximum number of allowed failures (nonnegative int).
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|
|
n : array_like
|
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|
|
The target number of successes (positive int).
|
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|
|
p : array_like
|
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|
|
Probability of success in a single event (float).
|
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|
|
out : ndarray, optional
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|
|
Optional output array for the function results
|
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|
|
|
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|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
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|
|
F : scalar or ndarray
|
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|
|
The probability of `k` or fewer failures before `n` successes in a
|
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|
|
sequence of events with individual success probability `p`.
|
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|
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|
See Also
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--------
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|
nbdtrc : Negative binomial survival function
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|
nbdtrik : Negative binomial quantile function
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|
scipy.stats.nbinom : Negative binomial distribution
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|
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|
Notes
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|
If floating point values are passed for `k` or `n`, they will be truncated
|
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|
to integers.
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|
The terms are not summed directly; instead the regularized incomplete beta
|
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|
function is employed, according to the formula,
|
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|
|
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|
|
.. math::
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|
|
\mathrm{nbdtr}(k, n, p) = I_{p}(n, k + 1).
|
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|
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|
|
Wrapper for the Cephes [1]_ routine `nbdtr`.
|
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|
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|
The negative binomial distribution is also available as
|
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|
|
`scipy.stats.nbinom`. Using `nbdtr` directly can improve performance
|
|||
|
|
compared to the ``cdf`` method of `scipy.stats.nbinom` (see last example).
|
|||
|
|
|
|||
|
|
References
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
.. [1] Cephes Mathematical Functions Library,
|
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|
|
http://www.netlib.org/cephes/
|
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|
|
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|
Examples
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--------
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|
|
Compute the function for ``k=10`` and ``n=5`` at ``p=0.5``.
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|
>>> import numpy as np
|
|||
|
|
>>> from scipy.special import nbdtr
|
|||
|
|
>>> nbdtr(10, 5, 0.5)
|
|||
|
|
0.940765380859375
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Compute the function for ``n=10`` and ``p=0.5`` at several points by
|
|||
|
|
providing a NumPy array or list for `k`.
|
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|
|
|
|||
|
|
>>> nbdtr([5, 10, 15], 10, 0.5)
|
|||
|
|
array([0.15087891, 0.58809853, 0.88523853])
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Plot the function for four different parameter sets.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> import matplotlib.pyplot as plt
|
|||
|
|
>>> k = np.arange(130)
|
|||
|
|
>>> n_parameters = [20, 20, 20, 80]
|
|||
|
|
>>> p_parameters = [0.2, 0.5, 0.8, 0.5]
|
|||
|
|
>>> linestyles = ['solid', 'dashed', 'dotted', 'dashdot']
|
|||
|
|
>>> parameters_list = list(zip(p_parameters, n_parameters,
|
|||
|
|
... linestyles))
|
|||
|
|
>>> fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 8))
|
|||
|
|
>>> for parameter_set in parameters_list:
|
|||
|
|
... p, n, style = parameter_set
|
|||
|
|
... nbdtr_vals = nbdtr(k, n, p)
|
|||
|
|
... ax.plot(k, nbdtr_vals, label=rf"$n={n},\, p={p}$",
|
|||
|
|
... ls=style)
|
|||
|
|
>>> ax.legend()
|
|||
|
|
>>> ax.set_xlabel("$k$")
|
|||
|
|
>>> ax.set_title("Negative binomial cumulative distribution function")
|
|||
|
|
>>> plt.show()
|
|||
|
|
|
|||
|
|
The negative binomial distribution is also available as
|
|||
|
|
`scipy.stats.nbinom`. Using `nbdtr` directly can be much faster than
|
|||
|
|
calling the ``cdf`` method of `scipy.stats.nbinom`, especially for small
|
|||
|
|
arrays or individual values. To get the same results one must use the
|
|||
|
|
following parametrization: ``nbinom(n, p).cdf(k)=nbdtr(k, n, p)``.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> from scipy.stats import nbinom
|
|||
|
|
>>> k, n, p = 5, 3, 0.5
|
|||
|
|
>>> nbdtr_res = nbdtr(k, n, p) # this will often be faster than below
|
|||
|
|
>>> stats_res = nbinom(n, p).cdf(k)
|
|||
|
|
>>> stats_res, nbdtr_res # test that results are equal
|
|||
|
|
(0.85546875, 0.85546875)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
`nbdtr` can evaluate different parameter sets by providing arrays with
|
|||
|
|
shapes compatible for broadcasting for `k`, `n` and `p`. Here we compute
|
|||
|
|
the function for three different `k` at four locations `p`, resulting in
|
|||
|
|
a 3x4 array.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> k = np.array([[5], [10], [15]])
|
|||
|
|
>>> p = np.array([0.3, 0.5, 0.7, 0.9])
|
|||
|
|
>>> k.shape, p.shape
|
|||
|
|
((3, 1), (4,))
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> nbdtr(k, 5, p)
|
|||
|
|
array([[0.15026833, 0.62304687, 0.95265101, 0.9998531 ],
|
|||
|
|
[0.48450894, 0.94076538, 0.99932777, 0.99999999],
|
|||
|
|
[0.76249222, 0.99409103, 0.99999445, 1. ]]) nbdtrc(k, n, p, out=None)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Negative binomial survival function.
|
|||
|
|
|
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|
|
Returns the sum of the terms `k + 1` to infinity of the negative binomial
|
|||
|
|
distribution probability mass function,
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|
|
|
|||
|
|
.. math::
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|||
|
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|||
|
|
F = \sum_{j=k + 1}^\infty {{n + j - 1}\choose{j}} p^n (1 - p)^j.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
In a sequence of Bernoulli trials with individual success probabilities
|
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|
|
`p`, this is the probability that more than `k` failures precede the nth
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|
success.
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|
|
Parameters
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----------
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|
k : array_like
|
|||
|
|
The maximum number of allowed failures (nonnegative int).
|
|||
|
|
n : array_like
|
|||
|
|
The target number of successes (positive int).
|
|||
|
|
p : array_like
|
|||
|
|
Probability of success in a single event (float).
|
|||
|
|
out : ndarray, optional
|
|||
|
|
Optional output array for the function results
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
F : scalar or ndarray
|
|||
|
|
The probability of `k + 1` or more failures before `n` successes in a
|
|||
|
|
sequence of events with individual success probability `p`.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
See Also
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|||
|
|
--------
|
|||
|
|
nbdtr : Negative binomial cumulative distribution function
|
|||
|
|
nbdtrik : Negative binomial percentile function
|
|||
|
|
scipy.stats.nbinom : Negative binomial distribution
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Notes
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|
|
-----
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|
|
If floating point values are passed for `k` or `n`, they will be truncated
|
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|
|
to integers.
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|||
|
|
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|||
|
|
The terms are not summed directly; instead the regularized incomplete beta
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|
|
function is employed, according to the formula,
|
|||
|
|
|
|||
|
|
.. math::
|
|||
|
|
\mathrm{nbdtrc}(k, n, p) = I_{1 - p}(k + 1, n).
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Wrapper for the Cephes [1]_ routine `nbdtrc`.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
The negative binomial distribution is also available as
|
|||
|
|
`scipy.stats.nbinom`. Using `nbdtrc` directly can improve performance
|
|||
|
|
compared to the ``sf`` method of `scipy.stats.nbinom` (see last example).
|
|||
|
|
|
|||
|
|
References
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
.. [1] Cephes Mathematical Functions Library,
|
|||
|
|
http://www.netlib.org/cephes/
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Examples
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|
|
--------
|
|||
|
|
Compute the function for ``k=10`` and ``n=5`` at ``p=0.5``.
|
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|
|
|
|||
|
|
>>> import numpy as np
|
|||
|
|
>>> from scipy.special import nbdtrc
|
|||
|
|
>>> nbdtrc(10, 5, 0.5)
|
|||
|
|
0.059234619140624986
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Compute the function for ``n=10`` and ``p=0.5`` at several points by
|
|||
|
|
providing a NumPy array or list for `k`.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> nbdtrc([5, 10, 15], 10, 0.5)
|
|||
|
|
array([0.84912109, 0.41190147, 0.11476147])
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Plot the function for four different parameter sets.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> import matplotlib.pyplot as plt
|
|||
|
|
>>> k = np.arange(130)
|
|||
|
|
>>> n_parameters = [20, 20, 20, 80]
|
|||
|
|
>>> p_parameters = [0.2, 0.5, 0.8, 0.5]
|
|||
|
|
>>> linestyles = ['solid', 'dashed', 'dotted', 'dashdot']
|
|||
|
|
>>> parameters_list = list(zip(p_parameters, n_parameters,
|
|||
|
|
... linestyles))
|
|||
|
|
>>> fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 8))
|
|||
|
|
>>> for parameter_set in parameters_list:
|
|||
|
|
... p, n, style = parameter_set
|
|||
|
|
... nbdtrc_vals = nbdtrc(k, n, p)
|
|||
|
|
... ax.plot(k, nbdtrc_vals, label=rf"$n={n},\, p={p}$",
|
|||
|
|
... ls=style)
|
|||
|
|
>>> ax.legend()
|
|||
|
|
>>> ax.set_xlabel("$k$")
|
|||
|
|
>>> ax.set_title("Negative binomial distribution survival function")
|
|||
|
|
>>> plt.show()
|
|||
|
|
|
|||
|
|
The negative binomial distribution is also available as
|
|||
|
|
`scipy.stats.nbinom`. Using `nbdtrc` directly can be much faster than
|
|||
|
|
calling the ``sf`` method of `scipy.stats.nbinom`, especially for small
|
|||
|
|
arrays or individual values. To get the same results one must use the
|
|||
|
|
following parametrization: ``nbinom(n, p).sf(k)=nbdtrc(k, n, p)``.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> from scipy.stats import nbinom
|
|||
|
|
>>> k, n, p = 3, 5, 0.5
|
|||
|
|
>>> nbdtr_res = nbdtrc(k, n, p) # this will often be faster than below
|
|||
|
|
>>> stats_res = nbinom(n, p).sf(k)
|
|||
|
|
>>> stats_res, nbdtr_res # test that results are equal
|
|||
|
|
(0.6367187499999999, 0.6367187499999999)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
`nbdtrc` can evaluate different parameter sets by providing arrays with
|
|||
|
|
shapes compatible for broadcasting for `k`, `n` and `p`. Here we compute
|
|||
|
|
the function for three different `k` at four locations `p`, resulting in
|
|||
|
|
a 3x4 array.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> k = np.array([[5], [10], [15]])
|
|||
|
|
>>> p = np.array([0.3, 0.5, 0.7, 0.9])
|
|||
|
|
>>> k.shape, p.shape
|
|||
|
|
((3, 1), (4,))
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> nbdtrc(k, 5, p)
|
|||
|
|
array([[8.49731667e-01, 3.76953125e-01, 4.73489874e-02, 1.46902600e-04],
|
|||
|
|
[5.15491059e-01, 5.92346191e-02, 6.72234070e-04, 9.29610100e-09],
|
|||
|
|
[2.37507779e-01, 5.90896606e-03, 5.55025308e-06, 3.26346760e-13]]) nbdtri(k, n, y, out=None)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns the inverse with respect to the parameter `p` of
|
|||
|
|
``y = nbdtr(k, n, p)``, the negative binomial cumulative distribution
|
|||
|
|
function.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
k : array_like
|
|||
|
|
The maximum number of allowed failures (nonnegative int).
|
|||
|
|
n : array_like
|
|||
|
|
The target number of successes (positive int).
|
|||
|
|
y : array_like
|
|||
|
|
The probability of `k` or fewer failures before `n` successes (float).
|
|||
|
|
out : ndarray, optional
|
|||
|
|
Optional output array for the function results
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
p : scalar or ndarray
|
|||
|
|
Probability of success in a single event (float) such that
|
|||
|
|
`nbdtr(k, n, p) = y`.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
See Also
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|
--------
|
|||
|
|
nbdtr : Cumulative distribution function of the negative binomial.
|
|||
|
|
nbdtrc : Negative binomial survival function.
|
|||
|
|
scipy.stats.nbinom : negative binomial distribution.
|
|||
|
|
nbdtrik : Inverse with respect to `k` of `nbdtr(k, n, p)`.
|
|||
|
|
nbdtrin : Inverse with respect to `n` of `nbdtr(k, n, p)`.
|
|||
|
|
scipy.stats.nbinom : Negative binomial distribution
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Notes
|
|||
|
|
-----
|
|||
|
|
Wrapper for the Cephes [1]_ routine `nbdtri`.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
The negative binomial distribution is also available as
|
|||
|
|
`scipy.stats.nbinom`. Using `nbdtri` directly can improve performance
|
|||
|
|
compared to the ``ppf`` method of `scipy.stats.nbinom`.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
References
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
.. [1] Cephes Mathematical Functions Library,
|
|||
|
|
http://www.netlib.org/cephes/
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Examples
|
|||
|
|
--------
|
|||
|
|
`nbdtri` is the inverse of `nbdtr` with respect to `p`.
|
|||
|
|
Up to floating point errors the following holds:
|
|||
|
|
``nbdtri(k, n, nbdtr(k, n, p))=p``.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> import numpy as np
|
|||
|
|
>>> from scipy.special import nbdtri, nbdtr
|
|||
|
|
>>> k, n, y = 5, 10, 0.2
|
|||
|
|
>>> cdf_val = nbdtr(k, n, y)
|
|||
|
|
>>> nbdtri(k, n, cdf_val)
|
|||
|
|
0.20000000000000004
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Compute the function for ``k=10`` and ``n=5`` at several points by
|
|||
|
|
providing a NumPy array or list for `y`.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> y = np.array([0.1, 0.4, 0.8])
|
|||
|
|
>>> nbdtri(3, 5, y)
|
|||
|
|
array([0.34462319, 0.51653095, 0.69677416])
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Plot the function for three different parameter sets.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> import matplotlib.pyplot as plt
|
|||
|
|
>>> n_parameters = [5, 20, 30, 30]
|
|||
|
|
>>> k_parameters = [20, 20, 60, 80]
|
|||
|
|
>>> linestyles = ['solid', 'dashed', 'dotted', 'dashdot']
|
|||
|
|
>>> parameters_list = list(zip(n_parameters, k_parameters, linestyles))
|
|||
|
|
>>> cdf_vals = np.linspace(0, 1, 1000)
|
|||
|
|
>>> fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 8))
|
|||
|
|
>>> for parameter_set in parameters_list:
|
|||
|
|
... n, k, style = parameter_set
|
|||
|
|
... nbdtri_vals = nbdtri(k, n, cdf_vals)
|
|||
|
|
... ax.plot(cdf_vals, nbdtri_vals, label=rf"$k={k},\ n={n}$",
|
|||
|
|
... ls=style)
|
|||
|
|
>>> ax.legend()
|
|||
|
|
>>> ax.set_ylabel("$p$")
|
|||
|
|
>>> ax.set_xlabel("$CDF$")
|
|||
|
|
>>> title = "nbdtri: inverse of negative binomial CDF with respect to $p$"
|
|||
|
|
>>> ax.set_title(title)
|
|||
|
|
>>> plt.show()
|
|||
|
|
|
|||
|
|
`nbdtri` can evaluate different parameter sets by providing arrays with
|
|||
|
|
shapes compatible for broadcasting for `k`, `n` and `p`. Here we compute
|
|||
|
|
the function for three different `k` at four locations `p`, resulting in
|
|||
|
|
a 3x4 array.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> k = np.array([[5], [10], [15]])
|
|||
|
|
>>> y = np.array([0.3, 0.5, 0.7, 0.9])
|
|||
|
|
>>> k.shape, y.shape
|
|||
|
|
((3, 1), (4,))
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> nbdtri(k, 5, y)
|
|||
|
|
array([[0.37258157, 0.45169416, 0.53249956, 0.64578407],
|
|||
|
|
[0.24588501, 0.30451981, 0.36778453, 0.46397088],
|
|||
|
|
[0.18362101, 0.22966758, 0.28054743, 0.36066188]]) nbdtrik(y, n, p, out=None)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Negative binomial percentile function.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns the inverse with respect to the parameter `k` of
|
|||
|
|
``y = nbdtr(k, n, p)``, the negative binomial cumulative distribution
|
|||
|
|
function.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
y : array_like
|
|||
|
|
The probability of `k` or fewer failures before `n` successes (float).
|
|||
|
|
n : array_like
|
|||
|
|
The target number of successes (positive int).
|
|||
|
|
p : array_like
|
|||
|
|
Probability of success in a single event (float).
|
|||
|
|
out : ndarray, optional
|
|||
|
|
Optional output array for the function results
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
k : scalar or ndarray
|
|||
|
|
The maximum number of allowed failures such that `nbdtr(k, n, p) = y`.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
See Also
|
|||
|
|
--------
|
|||
|
|
nbdtr : Cumulative distribution function of the negative binomial.
|
|||
|
|
nbdtrc : Survival function of the negative binomial.
|
|||
|
|
nbdtri : Inverse with respect to `p` of `nbdtr(k, n, p)`.
|
|||
|
|
nbdtrin : Inverse with respect to `n` of `nbdtr(k, n, p)`.
|
|||
|
|
scipy.stats.nbinom : Negative binomial distribution
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Notes
|
|||
|
|
-----
|
|||
|
|
Wrapper for the CDFLIB [1]_ Fortran routine `cdfnbn`.
|
|||
|
|
|
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|
|
Formula 26.5.26 of [2]_ or [3]_,
|
|||
|
|
|
|||
|
|
.. math::
|
|||
|
|
\sum_{j=k + 1}^\infty {{n + j - 1}
|
|||
|
|
\choose{j}} p^n (1 - p)^j = I_{1 - p}(k + 1, n),
|
|||
|
|
|
|||
|
|
is used to reduce calculation of the cumulative distribution function to
|
|||
|
|
that of a regularized incomplete beta :math:`I`.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Computation of `k` involves a search for a value that produces the desired
|
|||
|
|
value of `y`. The search relies on the monotonicity of `y` with `k`.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
References
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
.. [1] Barry Brown, James Lovato, and Kathy Russell,
|
|||
|
|
CDFLIB: Library of Fortran Routines for Cumulative Distribution
|
|||
|
|
Functions, Inverses, and Other Parameters.
|
|||
|
|
.. [2] Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds.
|
|||
|
|
Handbook of Mathematical Functions with Formulas,
|
|||
|
|
Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972.
|
|||
|
|
.. [3] NIST Digital Library of Mathematical Functions
|
|||
|
|
https://dlmf.nist.gov/8.17.E24
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Examples
|
|||
|
|
--------
|
|||
|
|
Compute the negative binomial cumulative distribution function for an
|
|||
|
|
exemplary parameter set.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> import numpy as np
|
|||
|
|
>>> from scipy.special import nbdtr, nbdtrik
|
|||
|
|
>>> k, n, p = 5, 2, 0.5
|
|||
|
|
>>> cdf_value = nbdtr(k, n, p)
|
|||
|
|
>>> cdf_value
|
|||
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|
0.9375
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|||
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|
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Verify that `nbdtrik` recovers the original value for `k`.
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>>> nbdtrik(cdf_value, n, p)
|
|||
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5.0
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|
Plot the function for different parameter sets.
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>>> import matplotlib.pyplot as plt
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|
>>> p_parameters = [0.2, 0.5, 0.7, 0.5]
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|||
|
|
>>> n_parameters = [30, 30, 30, 80]
|
|||
|
|
>>> linestyles = ['solid', 'dashed', 'dotted', 'dashdot']
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|
|
>>> parameters_list = list(zip(p_parameters, n_parameters, linestyles))
|
|||
|
|
>>> cdf_vals = np.linspace(0, 1, 1000)
|
|||
|
|
>>> fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 8))
|
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|
>>> for parameter_set in parameters_list:
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... p, n, style = parameter_set
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... nbdtrik_vals = nbdtrik(cdf_vals, n, p)
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|
|
... ax.plot(cdf_vals, nbdtrik_vals, label=rf"$n={n},\ p={p}$",
|
|||
|
|
... ls=style)
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|
>>> ax.legend()
|
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>>> ax.set_ylabel("$k$")
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>>> ax.set_xlabel("$CDF$")
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>>> ax.set_title("Negative binomial percentile function")
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>>> plt.show()
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The negative binomial distribution is also available as
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`scipy.stats.nbinom`. The percentile function method ``ppf``
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returns the result of `nbdtrik` rounded up to integers:
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>>> from scipy.stats import nbinom
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|
>>> q, n, p = 0.6, 5, 0.5
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|
|
>>> nbinom.ppf(q, n, p), nbdtrik(q, n, p)
|
|||
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|
(5.0, 4.800428460273882) nbdtrin(k, y, p, out=None)
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|
Inverse of `nbdtr` vs `n`.
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Returns the inverse with respect to the parameter `n` of
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``y = nbdtr(k, n, p)``, the negative binomial cumulative distribution
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function.
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Parameters
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----------
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k : array_like
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|
The maximum number of allowed failures (nonnegative int).
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|
y : array_like
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|
The probability of `k` or fewer failures before `n` successes (float).
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|
|
p : array_like
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|
|
Probability of success in a single event (float).
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|
|
out : ndarray, optional
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|
|
Optional output array for the function results
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|
|
|
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|
|
Returns
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|||
|
|
-------
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|
|
n : scalar or ndarray
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|
The number of successes `n` such that `nbdtr(k, n, p) = y`.
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See Also
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--------
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nbdtr : Cumulative distribution function of the negative binomial.
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|
nbdtri : Inverse with respect to `p` of `nbdtr(k, n, p)`.
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|
|
nbdtrik : Inverse with respect to `k` of `nbdtr(k, n, p)`.
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|
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|
Notes
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Wrapper for the CDFLIB [1]_ Fortran routine `cdfnbn`.
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Formula 26.5.26 of [2]_ or [3]_,
|
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|
.. math::
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|
|
\sum_{j=k + 1}^\infty {{n + j - 1}
|
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|
|
\choose{j}} p^n (1 - p)^j = I_{1 - p}(k + 1, n),
|
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|
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|
is used to reduce calculation of the cumulative distribution function to
|
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|
|
that of a regularized incomplete beta :math:`I`.
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|
|
Computation of `n` involves a search for a value that produces the desired
|
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|
|
value of `y`. The search relies on the monotonicity of `y` with `n`.
|
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|
|
|
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|
References
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|
----------
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|
|
.. [1] Barry Brown, James Lovato, and Kathy Russell,
|
|||
|
|
CDFLIB: Library of Fortran Routines for Cumulative Distribution
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|||
|
|
Functions, Inverses, and Other Parameters.
|
|||
|
|
.. [2] Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds.
|
|||
|
|
Handbook of Mathematical Functions with Formulas,
|
|||
|
|
Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972.
|
|||
|
|
.. [3] NIST Digital Library of Mathematical Functions
|
|||
|
|
https://dlmf.nist.gov/8.17.E24
|
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|
Examples
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--------
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|
Compute the negative binomial cumulative distribution function for an
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exemplary parameter set.
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|
>>> from scipy.special import nbdtr, nbdtrin
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|
|
>>> k, n, p = 5, 2, 0.5
|
|||
|
|
>>> cdf_value = nbdtr(k, n, p)
|
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|
|
>>> cdf_value
|
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|
|
0.9375
|
|||
|
|
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|
Verify that `nbdtrin` recovers the original value for `n` up to floating
|
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|
|
point accuracy.
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|
|
>>> nbdtrin(k, cdf_value, p)
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|
1.999999999998137 ncfdtr(dfn, dfd, nc, f, out=None)
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|
Cumulative distribution function of the non-central F distribution.
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|
The non-central F describes the distribution of,
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.. math::
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|
Z = \frac{X/d_n}{Y/d_d}
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|
|
where :math:`X` and :math:`Y` are independently distributed, with
|
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|
|
:math:`X` distributed non-central :math:`\chi^2` with noncentrality
|
|||
|
|
parameter `nc` and :math:`d_n` degrees of freedom, and :math:`Y`
|
|||
|
|
distributed :math:`\chi^2` with :math:`d_d` degrees of freedom.
|
|||
|
|
|
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|
|
Parameters
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|||
|
|
----------
|
|||
|
|
dfn : array_like
|
|||
|
|
Degrees of freedom of the numerator sum of squares. Range (0, inf).
|
|||
|
|
dfd : array_like
|
|||
|
|
Degrees of freedom of the denominator sum of squares. Range (0, inf).
|
|||
|
|
nc : array_like
|
|||
|
|
Noncentrality parameter. Range [0, inf).
|
|||
|
|
f : array_like
|
|||
|
|
Quantiles, i.e. the upper limit of integration.
|
|||
|
|
out : ndarray, optional
|
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|
|
Optional output array for the function results
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|
|
|
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|
|
Returns
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|
-------
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|
|
cdf : scalar or ndarray
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|
The calculated CDF. If all inputs are scalar, the return will be a
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float. Otherwise it will be an array.
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|
See Also
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--------
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|
ncfdtri : Quantile function; inverse of `ncfdtr` with respect to `f`.
|
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|
|
ncfdtridfd : Inverse of `ncfdtr` with respect to `dfd`.
|
|||
|
|
ncfdtridfn : Inverse of `ncfdtr` with respect to `dfn`.
|
|||
|
|
ncfdtrinc : Inverse of `ncfdtr` with respect to `nc`.
|
|||
|
|
scipy.stats.ncf : Non-central F distribution.
|
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|
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|
Notes
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This function calculates the CDF of the non-central f distribution using
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|
the Boost Math C++ library [1]_.
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|
The cumulative distribution function is computed using Formula 26.6.20 of
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|
[2]_:
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.. math::
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|
F(d_n, d_d, n_c, f) = \sum_{j=0}^\infty e^{-n_c/2}
|
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|
|
\frac{(n_c/2)^j}{j!} I_{x}(\frac{d_n}{2} + j, \frac{d_d}{2}),
|
|||
|
|
|
|||
|
|
where :math:`I` is the regularized incomplete beta function, and
|
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|
|
:math:`x = f d_n/(f d_n + d_d)`.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Note that argument order of `ncfdtr` is different from that of the
|
|||
|
|
similar ``cdf`` method of `scipy.stats.ncf`: `f` is the last
|
|||
|
|
parameter of `ncfdtr` but the first parameter of ``scipy.stats.ncf.cdf``.
|
|||
|
|
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|
References
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|
----------
|
|||
|
|
.. [1] The Boost Developers. "Boost C++ Libraries". https://www.boost.org/.
|
|||
|
|
.. [2] Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds.
|
|||
|
|
Handbook of Mathematical Functions with Formulas,
|
|||
|
|
Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972.
|
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|
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|
Examples
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--------
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|
>>> import numpy as np
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|
>>> from scipy import special
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>>> from scipy import stats
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|
>>> import matplotlib.pyplot as plt
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|
Plot the CDF of the non-central F distribution, for nc=0. Compare with the
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F-distribution from scipy.stats:
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>>> x = np.linspace(-1, 8, num=500)
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>>> dfn = 3
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>>> dfd = 2
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>>> ncf_stats = stats.f.cdf(x, dfn, dfd)
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|
>>> ncf_special = special.ncfdtr(dfn, dfd, 0, x)
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>>> fig = plt.figure()
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>>> ax = fig.add_subplot(111)
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>>> ax.plot(x, ncf_stats, 'b-', lw=3)
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|
|
>>> ax.plot(x, ncf_special, 'r-')
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|
|
>>> plt.show() ncfdtri(dfn, dfd, nc, p, out=None)
|
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|
Inverse with respect to `f` of the CDF of the non-central F distribution.
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|
See `ncfdtr` for more details.
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|
Parameters
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----------
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|
dfn : array_like
|
|||
|
|
Degrees of freedom of the numerator sum of squares. Range (0, inf).
|
|||
|
|
dfd : array_like
|
|||
|
|
Degrees of freedom of the denominator sum of squares. Range (0, inf).
|
|||
|
|
nc : array_like
|
|||
|
|
Noncentrality parameter. Range [0, inf).
|
|||
|
|
p : array_like
|
|||
|
|
Value of the cumulative distribution function. Must be in the
|
|||
|
|
range [0, 1].
|
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|
|
out : ndarray, optional
|
|||
|
|
Optional output array for the function results
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|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
f : scalar or ndarray
|
|||
|
|
Quantiles, i.e., the upper limit of integration.
|
|||
|
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|
See Also
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--------
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|
ncfdtr : CDF of the non-central F distribution.
|
|||
|
|
ncfdtridfd : Inverse of `ncfdtr` with respect to `dfd`.
|
|||
|
|
ncfdtridfn : Inverse of `ncfdtr` with respect to `dfn`.
|
|||
|
|
ncfdtrinc : Inverse of `ncfdtr` with respect to `nc`.
|
|||
|
|
scipy.stats.ncf : Non-central F distribution.
|
|||
|
|
|
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|
|
Notes
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|
-----
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|
|
This function calculates the Quantile of the non-central f distribution
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|
|
using the Boost Math C++ library [1]_.
|
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|
|
|
|||
|
|
Note that argument order of `ncfdtri` is different from that of the
|
|||
|
|
similar ``ppf`` method of `scipy.stats.ncf`. `p` is the last parameter
|
|||
|
|
of `ncfdtri` but the first parameter of ``scipy.stats.ncf.ppf``.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
References
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----------
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|
|
.. [1] The Boost Developers. "Boost C++ Libraries". https://www.boost.org/.
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|
Examples
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--------
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>>> from scipy.special import ncfdtr, ncfdtri
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|
Compute the CDF for several values of `f`:
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>>> f = [0.5, 1, 1.5]
|
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|
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>>> p = ncfdtr(2, 3, 1.5, f)
|
|||
|
|
>>> p
|
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|
array([ 0.20782291, 0.36107392, 0.47345752])
|
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|||
|
|
Compute the inverse. We recover the values of `f`, as expected:
|
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|
|
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|
>>> ncfdtri(2, 3, 1.5, p)
|
|||
|
|
array([ 0.5, 1. , 1.5]) ncfdtridfd(dfn, p, nc, f, out=None)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Calculate degrees of freedom (denominator) for the noncentral F-distribution.
|
|||
|
|
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|
This is the inverse with respect to `dfd` of `ncfdtr`.
|
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|
|
See `ncfdtr` for more details.
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|
|
|
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|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
dfn : array_like
|
|||
|
|
Degrees of freedom of the numerator sum of squares. Range (0, inf).
|
|||
|
|
p : array_like
|
|||
|
|
Value of the cumulative distribution function. Must be in the
|
|||
|
|
range [0, 1].
|
|||
|
|
nc : array_like
|
|||
|
|
Noncentrality parameter. Should be in range (0, 1e4).
|
|||
|
|
f : array_like
|
|||
|
|
Quantiles, i.e., the upper limit of integration.
|
|||
|
|
out : ndarray, optional
|
|||
|
|
Optional output array for the function results
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
dfd : scalar or ndarray
|
|||
|
|
Degrees of freedom of the denominator sum of squares.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
See Also
|
|||
|
|
--------
|
|||
|
|
ncfdtr : CDF of the non-central F distribution.
|
|||
|
|
ncfdtri : Quantile function; inverse of `ncfdtr` with respect to `f`.
|
|||
|
|
ncfdtridfn : Inverse of `ncfdtr` with respect to `dfn`.
|
|||
|
|
ncfdtrinc : Inverse of `ncfdtr` with respect to `nc`.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Notes
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|
|
-----
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|
|
The value of the cumulative noncentral F distribution is not necessarily
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|
monotone in either degrees of freedom. There thus may be two values that
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|
|
provide a given CDF value. This routine assumes monotonicity and will
|
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|
|
find an arbitrary one of the two values.
|
|||
|
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|
|
Examples
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|
|
--------
|
|||
|
|
>>> from scipy.special import ncfdtr, ncfdtridfd
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Compute the CDF for several values of `dfd`:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> dfd = [1, 2, 3]
|
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|
|
>>> p = ncfdtr(2, dfd, 0.25, 15)
|
|||
|
|
>>> p
|
|||
|
|
array([ 0.8097138 , 0.93020416, 0.96787852])
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Compute the inverse. We recover the values of `dfd`, as expected:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> ncfdtridfd(2, p, 0.25, 15)
|
|||
|
|
array([ 1., 2., 3.]) ncfdtridfn(p, dfd, nc, f, out=None)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Calculate degrees of freedom (numerator) for the noncentral F-distribution.
|
|||
|
|
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|||
|
|
This is the inverse with respect to `dfn` of `ncfdtr`.
|
|||
|
|
See `ncfdtr` for more details.
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|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
p : array_like
|
|||
|
|
Value of the cumulative distribution function. Must be in the
|
|||
|
|
range [0, 1].
|
|||
|
|
dfd : array_like
|
|||
|
|
Degrees of freedom of the denominator sum of squares. Range (0, inf).
|
|||
|
|
nc : array_like
|
|||
|
|
Noncentrality parameter. Should be in range (0, 1e4).
|
|||
|
|
f : float
|
|||
|
|
Quantiles, i.e., the upper limit of integration.
|
|||
|
|
out : ndarray, optional
|
|||
|
|
Optional output array for the function results
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
dfn : scalar or ndarray
|
|||
|
|
Degrees of freedom of the numerator sum of squares.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
See Also
|
|||
|
|
--------
|
|||
|
|
ncfdtr : CDF of the non-central F distribution.
|
|||
|
|
ncfdtri : Quantile function; inverse of `ncfdtr` with respect to `f`.
|
|||
|
|
ncfdtridfd : Inverse of `ncfdtr` with respect to `dfd`.
|
|||
|
|
ncfdtrinc : Inverse of `ncfdtr` with respect to `nc`.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Notes
|
|||
|
|
-----
|
|||
|
|
The value of the cumulative noncentral F distribution is not necessarily
|
|||
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monotone in either degrees of freedom. There thus may be two values that
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provide a given CDF value. This routine assumes monotonicity and will
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find an arbitrary one of the two values.
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Examples
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--------
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>>> from scipy.special import ncfdtr, ncfdtridfn
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Compute the CDF for several values of `dfn`:
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>>> dfn = [1, 2, 3]
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>>> p = ncfdtr(dfn, 2, 0.25, 15)
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|||
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|
>>> p
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array([ 0.92562363, 0.93020416, 0.93188394])
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|
Compute the inverse. We recover the values of `dfn`, as expected:
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|
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|||
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|
>>> ncfdtridfn(p, 2, 0.25, 15)
|
|||
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array([ 1., 2., 3.]) ncfdtrinc(dfn, dfd, p, f, out=None)
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|||
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|
Calculate non-centrality parameter for non-central F distribution.
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This is the inverse with respect to `nc` of `ncfdtr`.
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See `ncfdtr` for more details.
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Parameters
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|
----------
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dfn : array_like
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|
Degrees of freedom of the numerator sum of squares. Range (0, inf).
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dfd : array_like
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|||
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|
Degrees of freedom of the denominator sum of squares. Range (0, inf).
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|
p : array_like
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|||
|
|
Value of the cumulative distribution function. Must be in the
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|
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range [0, 1].
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|
f : array_like
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|||
|
|
Quantiles, i.e., the upper limit of integration.
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|||
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|
out : ndarray, optional
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|
Optional output array for the function results
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|
|
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|||
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|
Returns
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|||
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-------
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|
nc : scalar or ndarray
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Noncentrality parameter.
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See Also
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ncfdtr : CDF of the non-central F distribution.
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ncfdtri : Quantile function; inverse of `ncfdtr` with respect to `f`.
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ncfdtridfd : Inverse of `ncfdtr` with respect to `dfd`.
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ncfdtridfn : Inverse of `ncfdtr` with respect to `dfn`.
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Examples
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--------
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>>> from scipy.special import ncfdtr, ncfdtrinc
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Compute the CDF for several values of `nc`:
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>>> nc = [0.5, 1.5, 2.0]
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|||
|
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>>> p = ncfdtr(2, 3, nc, 15)
|
|||
|
|
>>> p
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|||
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|
array([ 0.96309246, 0.94327955, 0.93304098])
|
|||
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|||
|
|
Compute the inverse. We recover the values of `nc`, as expected:
|
|||
|
|
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|||
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|
>>> ncfdtrinc(2, 3, p, 15)
|
|||
|
|
array([ 0.5, 1.5, 2. ]) nctdtr(df, nc, t, out=None)
|
|||
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|
Cumulative distribution function of the non-central `t` distribution.
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|
Parameters
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|
|
----------
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|
|
df : array_like
|
|||
|
|
Degrees of freedom of the distribution. Should be in range (0, inf).
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|
|
nc : array_like
|
|||
|
|
Noncentrality parameter.
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|||
|
|
t : array_like
|
|||
|
|
Quantiles, i.e., the upper limit of integration.
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|||
|
|
out : ndarray, optional
|
|||
|
|
Optional output array for the function results
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|||
|
|
|
|||
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|
Returns
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|||
|
|
-------
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|
|
cdf : scalar or ndarray
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The calculated CDF. If all inputs are scalar, the return will be a
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float. Otherwise, it will be an array.
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|
See Also
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--------
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|
nctdtrit : Inverse CDF (iCDF) of the non-central t distribution.
|
|||
|
|
nctdtridf : Calculate degrees of freedom, given CDF and iCDF values.
|
|||
|
|
nctdtrinc : Calculate non-centrality parameter, given CDF iCDF values.
|
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|
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|
Notes
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This function calculates the CDF of the non-central t distribution using
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|
|
the Boost Math C++ library [1]_.
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|
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|
|
Note that the argument order of `nctdtr` is different from that of the
|
|||
|
|
similar ``cdf`` method of `scipy.stats.nct`: `t` is the last
|
|||
|
|
parameter of `nctdtr` but the first parameter of ``scipy.stats.nct.cdf``.
|
|||
|
|
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|
References
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|
----------
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|
|
.. [1] The Boost Developers. "Boost C++ Libraries". https://www.boost.org/.
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|
Examples
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|
|
--------
|
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|
>>> import numpy as np
|
|||
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|
>>> from scipy import special
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>>> from scipy import stats
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|
>>> import matplotlib.pyplot as plt
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Plot the CDF of the non-central t distribution, for nc=0. Compare with the
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t-distribution from scipy.stats:
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>>> x = np.linspace(-5, 5, num=500)
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>>> df = 3
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>>> nct_stats = stats.t.cdf(x, df)
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>>> nct_special = special.nctdtr(df, 0, x)
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|||
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|
>>> fig = plt.figure()
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|
|
>>> ax = fig.add_subplot(111)
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|
>>> ax.plot(x, nct_stats, 'b-', lw=3)
|
|||
|
|
>>> ax.plot(x, nct_special, 'r-')
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|||
|
|
>>> plt.show() nctdtridf(p, nc, t, out=None)
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|
|
|
|||
|
|
Calculate degrees of freedom for non-central t distribution.
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|||
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|||
|
|
See `nctdtr` for more details.
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|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
p : array_like
|
|||
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|
CDF values, in range (0, 1].
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|
nc : array_like
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|||
|
|
Noncentrality parameter. Should be in range (-1e6, 1e6).
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|||
|
|
t : array_like
|
|||
|
|
Quantiles, i.e., the upper limit of integration.
|
|||
|
|
out : ndarray, optional
|
|||
|
|
Optional output array for the function results
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
df : scalar or ndarray
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|||
|
|
The degrees of freedom. If all inputs are scalar, the return will be a
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|
|
float. Otherwise, it will be an array.
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|
|
|
|||
|
|
See Also
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--------
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|
nctdtr : CDF of the non-central `t` distribution.
|
|||
|
|
nctdtrit : Inverse CDF (iCDF) of the non-central t distribution.
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|||
|
|
nctdtrinc : Calculate non-centrality parameter, given CDF iCDF values.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Examples
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|
--------
|
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|
|
>>> from scipy.special import nctdtr, nctdtridf
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|
|
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|||
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|
Compute the CDF for several values of `df`:
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|
|
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|||
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>>> df = [1, 2, 3]
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|
>>> p = nctdtr(df, 0.25, 1)
|
|||
|
|
>>> p
|
|||
|
|
array([0.67491974, 0.716464 , 0.73349456])
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Compute the inverse. We recover the values of `df`, as expected:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> nctdtridf(p, 0.25, 1)
|
|||
|
|
array([1., 2., 3.]) nctdtrinc(df, p, t, out=None)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Calculate non-centrality parameter for non-central t distribution.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
See `nctdtr` for more details.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
df : array_like
|
|||
|
|
Degrees of freedom of the distribution. Should be in range (0, inf).
|
|||
|
|
p : array_like
|
|||
|
|
CDF values, in range (0, 1].
|
|||
|
|
t : array_like
|
|||
|
|
Quantiles, i.e., the upper limit of integration.
|
|||
|
|
out : ndarray, optional
|
|||
|
|
Optional output array for the function results
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
nc : scalar or ndarray
|
|||
|
|
Noncentrality parameter
|
|||
|
|
|
|||
|
|
See Also
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|||
|
|
--------
|
|||
|
|
nctdtr : CDF of the non-central `t` distribution.
|
|||
|
|
nctdtrit : Inverse CDF (iCDF) of the non-central t distribution.
|
|||
|
|
nctdtridf : Calculate degrees of freedom, given CDF and iCDF values.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Examples
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|
|
--------
|
|||
|
|
>>> from scipy.special import nctdtr, nctdtrinc
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Compute the CDF for several values of `nc`:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> nc = [0.5, 1.5, 2.5]
|
|||
|
|
>>> p = nctdtr(3, nc, 1.5)
|
|||
|
|
>>> p
|
|||
|
|
array([0.77569497, 0.45524533, 0.1668691 ])
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Compute the inverse. We recover the values of `nc`, as expected:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> nctdtrinc(3, p, 1.5)
|
|||
|
|
array([0.5, 1.5, 2.5]) nctdtrit(df, nc, p, out=None)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Inverse cumulative distribution function of the non-central t distribution.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
See `nctdtr` for more details.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
df : array_like
|
|||
|
|
Degrees of freedom of the distribution. Should be in range (0, inf).
|
|||
|
|
nc : array_like
|
|||
|
|
Noncentrality parameter.
|
|||
|
|
p : array_like
|
|||
|
|
CDF values, in range (0, 1].
|
|||
|
|
out : ndarray, optional
|
|||
|
|
Optional output array for the function results
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
t : scalar or ndarray
|
|||
|
|
Quantiles
|
|||
|
|
|
|||
|
|
See Also
|
|||
|
|
--------
|
|||
|
|
nctdtr : CDF of the non-central `t` distribution.
|
|||
|
|
nctdtridf : Calculate degrees of freedom, given CDF and iCDF values.
|
|||
|
|
nctdtrinc : Calculate non-centrality parameter, given CDF iCDF values.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Notes
|
|||
|
|
-----
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|
|
This function calculates the quantile of the non-central t distribution using
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|||
|
|
the Boost Math C++ library [1]_.
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|||
|
|
|
|||
|
|
Note that the argument order of `nctdtrit` is different from that of the
|
|||
|
|
similar ``ppf`` method of `scipy.stats.nct`: `t` is the last
|
|||
|
|
parameter of `nctdtrit` but the first parameter of ``scipy.stats.nct.ppf``.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
References
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
.. [1] The Boost Developers. "Boost C++ Libraries". https://www.boost.org/.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Examples
|
|||
|
|
--------
|
|||
|
|
>>> from scipy.special import nctdtr, nctdtrit
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Compute the CDF for several values of `t`:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> t = [0.5, 1, 1.5]
|
|||
|
|
>>> p = nctdtr(3, 1, t)
|
|||
|
|
>>> p
|
|||
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|
array([0.29811049, 0.46922687, 0.6257559 ])
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Compute the inverse. We recover the values of `t`, as expected:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> nctdtrit(3, 1, p)
|
|||
|
|
array([0.5, 1. , 1.5]) ndtri(y, out=None)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Inverse of `ndtr` vs x
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns the argument x for which the area under the standard normal
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|
probability density function (integrated from minus infinity to `x`)
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is equal to y.
|
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|
|||
|
|
Parameters
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|||
|
|
----------
|
|||
|
|
p : array_like
|
|||
|
|
Probability
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|
|
out : ndarray, optional
|
|||
|
|
Optional output array for the function results
|
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|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
x : scalar or ndarray
|
|||
|
|
Value of x such that ``ndtr(x) == p``.
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|||
|
|
|
|||
|
|
See Also
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|
--------
|
|||
|
|
ndtr : Standard normal cumulative probability distribution
|
|||
|
|
ndtri_exp : Inverse of log_ndtr
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|||
|
|
|
|||
|
|
Examples
|
|||
|
|
--------
|
|||
|
|
`ndtri` is the percentile function of the standard normal distribution.
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|||
|
|
This means it returns the inverse of the cumulative density `ndtr`. First,
|
|||
|
|
let us compute a cumulative density value.
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|||
|
|
|
|||
|
|
>>> import numpy as np
|
|||
|
|
>>> from scipy.special import ndtri, ndtr
|
|||
|
|
>>> cdf_val = ndtr(2)
|
|||
|
|
>>> cdf_val
|
|||
|
|
0.9772498680518208
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Verify that `ndtri` yields the original value for `x` up to floating point
|
|||
|
|
errors.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> ndtri(cdf_val)
|
|||
|
|
2.0000000000000004
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Plot the function. For that purpose, we provide a NumPy array as argument.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> import matplotlib.pyplot as plt
|
|||
|
|
>>> x = np.linspace(0.01, 1, 200)
|
|||
|
|
>>> fig, ax = plt.subplots()
|
|||
|
|
>>> ax.plot(x, ndtri(x))
|
|||
|
|
>>> ax.set_title("Standard normal percentile function")
|
|||
|
|
>>> plt.show() ndtri_exp(y, out=None)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Inverse of `log_ndtr` vs x. Allows for greater precision than
|
|||
|
|
`ndtri` composed with `numpy.exp` for very small values of y and for
|
|||
|
|
y close to 0.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
y : array_like of float
|
|||
|
|
Function argument
|
|||
|
|
out : ndarray, optional
|
|||
|
|
Optional output array for the function results
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
scalar or ndarray
|
|||
|
|
Inverse of the log CDF of the standard normal distribution, evaluated
|
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|
|
at y.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
See Also
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|||
|
|
--------
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|||
|
|
log_ndtr : log of the standard normal cumulative distribution function
|
|||
|
|
ndtr : standard normal cumulative distribution function
|
|||
|
|
ndtri : standard normal percentile function
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Examples
|
|||
|
|
--------
|
|||
|
|
>>> import numpy as np
|
|||
|
|
>>> import scipy.special as sc
|
|||
|
|
|
|||
|
|
`ndtri_exp` agrees with the naive implementation when the latter does
|
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|
|
not suffer from underflow.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> sc.ndtri_exp(-1)
|
|||
|
|
-0.33747496376420244
|
|||
|
|
>>> sc.ndtri(np.exp(-1))
|
|||
|
|
-0.33747496376420244
|
|||
|
|
|
|||
|
|
For extreme values of y, the naive approach fails
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> sc.ndtri(np.exp(-800))
|
|||
|
|
-inf
|
|||
|
|
>>> sc.ndtri(np.exp(-1e-20))
|
|||
|
|
inf
|
|||
|
|
|
|||
|
|
whereas `ndtri_exp` is still able to compute the result to high precision.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> sc.ndtri_exp(-800)
|
|||
|
|
-39.88469483825668
|
|||
|
|
>>> sc.ndtri_exp(-1e-20)
|
|||
|
|
9.262340089798409 nrdtrimn(p, std, x, out=None)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Calculate mean of normal distribution given other params.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
p : array_like
|
|||
|
|
CDF values, in range (0, 1].
|
|||
|
|
std : array_like
|
|||
|
|
Standard deviation.
|
|||
|
|
x : array_like
|
|||
|
|
Quantiles, i.e. the upper limit of integration.
|
|||
|
|
out : ndarray, optional
|
|||
|
|
Optional output array for the function results
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
mn : scalar or ndarray
|
|||
|
|
The mean of the normal distribution.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
See Also
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|||
|
|
--------
|
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|
|
scipy.stats.norm : Normal distribution
|
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|
|
ndtr : Standard normal cumulative probability distribution
|
|||
|
|
ndtri : Inverse of standard normal CDF with respect to quantile
|
|||
|
|
nrdtrisd : Inverse of normal distribution CDF with respect to
|
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|
|
standard deviation
|
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|
|
|
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|
|
Examples
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|
|
--------
|
|||
|
|
`nrdtrimn` can be used to recover the mean of a normal distribution
|
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|
|
if we know the CDF value `p` for a given quantile `x` and the
|
|||
|
|
standard deviation `std`. First, we calculate
|
|||
|
|
the normal distribution CDF for an exemplary parameter set.
|
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|
|
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|
|
>>> from scipy.stats import norm
|
|||
|
|
>>> mean = 3.
|
|||
|
|
>>> std = 2.
|
|||
|
|
>>> x = 6.
|
|||
|
|
>>> p = norm.cdf(x, loc=mean, scale=std)
|
|||
|
|
>>> p
|
|||
|
|
0.9331927987311419
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Verify that `nrdtrimn` returns the original value for `mean`.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> from scipy.special import nrdtrimn
|
|||
|
|
>>> nrdtrimn(p, std, x)
|
|||
|
|
3.0000000000000004 nrdtrisd(mn, p, x, out=None)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Calculate standard deviation of normal distribution given other params.
|
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|
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|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
mn : scalar or ndarray
|
|||
|
|
The mean of the normal distribution.
|
|||
|
|
p : array_like
|
|||
|
|
CDF values, in range (0, 1].
|
|||
|
|
x : array_like
|
|||
|
|
Quantiles, i.e. the upper limit of integration.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
out : ndarray, optional
|
|||
|
|
Optional output array for the function results
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
std : scalar or ndarray
|
|||
|
|
Standard deviation.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
See Also
|
|||
|
|
--------
|
|||
|
|
scipy.stats.norm : Normal distribution
|
|||
|
|
ndtr : Standard normal cumulative probability distribution
|
|||
|
|
ndtri : Inverse of standard normal CDF with respect to quantile
|
|||
|
|
nrdtrimn : Inverse of normal distribution CDF with respect to
|
|||
|
|
mean
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Examples
|
|||
|
|
--------
|
|||
|
|
`nrdtrisd` can be used to recover the standard deviation of a normal
|
|||
|
|
distribution if we know the CDF value `p` for a given quantile `x` and
|
|||
|
|
the mean `mn`. First, we calculate the normal distribution CDF for an
|
|||
|
|
exemplary parameter set.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> from scipy.stats import norm
|
|||
|
|
>>> mean = 3.
|
|||
|
|
>>> std = 2.
|
|||
|
|
>>> x = 6.
|
|||
|
|
>>> p = norm.cdf(x, loc=mean, scale=std)
|
|||
|
|
>>> p
|
|||
|
|
0.9331927987311419
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Verify that `nrdtrisd` returns the original value for `std`.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> from scipy.special import nrdtrisd
|
|||
|
|
>>> nrdtrisd(mean, p, x)
|
|||
|
|
2.0000000000000004 owens_t(h, a, out=None)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Owen's T Function.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
The function T(h, a) gives the probability of the event
|
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|
|
(X > h and 0 < Y < a * X) where X and Y are independent
|
|||
|
|
standard normal random variables.
|
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|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
h: array_like
|
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|
|
Input value.
|
|||
|
|
a: array_like
|
|||
|
|
Input value.
|
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|
|
out : ndarray, optional
|
|||
|
|
Optional output array for the function results
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
t: scalar or ndarray
|
|||
|
|
Probability of the event (X > h and 0 < Y < a * X),
|
|||
|
|
where X and Y are independent standard normal random variables.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
References
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
.. [1] M. Patefield and D. Tandy, "Fast and accurate calculation of
|
|||
|
|
Owen's T Function", Statistical Software vol. 5, pp. 1-25, 2000.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Examples
|
|||
|
|
--------
|
|||
|
|
>>> from scipy import special
|
|||
|
|
>>> a = 3.5
|
|||
|
|
>>> h = 0.78
|
|||
|
|
>>> special.owens_t(h, a)
|
|||
|
|
0.10877216734852274 pdtr(k, m, out=None)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Poisson cumulative distribution function.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Defined as the probability that a Poisson-distributed random
|
|||
|
|
variable with event rate :math:`m` is less than or equal to
|
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|
|
:math:`k`. More concretely, this works out to be [1]_
|
|||
|
|
|
|||
|
|
.. math::
|
|||
|
|
|
|||
|
|
\exp(-m) \sum_{j = 0}^{\lfloor{k}\rfloor} \frac{m^j}{j!}.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
k : array_like
|
|||
|
|
Number of occurrences (nonnegative, real)
|
|||
|
|
m : array_like
|
|||
|
|
Shape parameter (nonnegative, real)
|
|||
|
|
out : ndarray, optional
|
|||
|
|
Optional output array for the function results
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
scalar or ndarray
|
|||
|
|
Values of the Poisson cumulative distribution function
|
|||
|
|
|
|||
|
|
See Also
|
|||
|
|
--------
|
|||
|
|
pdtrc : Poisson survival function
|
|||
|
|
pdtrik : inverse of `pdtr` with respect to `k`
|
|||
|
|
pdtri : inverse of `pdtr` with respect to `m`
|
|||
|
|
|
|||
|
|
References
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
.. [1] https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_distribution
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Examples
|
|||
|
|
--------
|
|||
|
|
>>> import numpy as np
|
|||
|
|
>>> import scipy.special as sc
|
|||
|
|
|
|||
|
|
It is a cumulative distribution function, so it converges to 1
|
|||
|
|
monotonically as `k` goes to infinity.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> sc.pdtr([1, 10, 100, np.inf], 1)
|
|||
|
|
array([0.73575888, 0.99999999, 1. , 1. ])
|
|||
|
|
|
|||
|
|
It is discontinuous at integers and constant between integers.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> sc.pdtr([1, 1.5, 1.9, 2], 1)
|
|||
|
|
array([0.73575888, 0.73575888, 0.73575888, 0.9196986 ]) pdtrc(k, m, out=None)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Poisson survival function
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns the sum of the terms from k+1 to infinity of the Poisson
|
|||
|
|
distribution: sum(exp(-m) * m**j / j!, j=k+1..inf) = gammainc(
|
|||
|
|
k+1, m). Arguments must both be non-negative doubles.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
k : array_like
|
|||
|
|
Number of occurrences (nonnegative, real)
|
|||
|
|
m : array_like
|
|||
|
|
Shape parameter (nonnegative, real)
|
|||
|
|
out : ndarray, optional
|
|||
|
|
Optional output array for the function results
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
scalar or ndarray
|
|||
|
|
Values of the Poisson survival function
|
|||
|
|
|
|||
|
|
See Also
|
|||
|
|
--------
|
|||
|
|
pdtr : Poisson cumulative distribution function
|
|||
|
|
pdtrik : inverse of `pdtr` with respect to `k`
|
|||
|
|
pdtri : inverse of `pdtr` with respect to `m`
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Examples
|
|||
|
|
--------
|
|||
|
|
>>> import numpy as np
|
|||
|
|
>>> import scipy.special as sc
|
|||
|
|
|
|||
|
|
It is a survival function, so it decreases to 0
|
|||
|
|
monotonically as `k` goes to infinity.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> k = np.array([1, 10, 100, np.inf])
|
|||
|
|
>>> sc.pdtrc(k, 1)
|
|||
|
|
array([2.64241118e-001, 1.00477664e-008, 3.94147589e-161, 0.00000000e+000])
|
|||
|
|
|
|||
|
|
It can be expressed in terms of the lower incomplete gamma
|
|||
|
|
function `gammainc`.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> sc.gammainc(k + 1, 1)
|
|||
|
|
array([2.64241118e-001, 1.00477664e-008, 3.94147589e-161, 0.00000000e+000]) pdtri(k, y, out=None)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Inverse to `pdtr` vs m
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns the Poisson variable `m` such that the sum from 0 to `k` of
|
|||
|
|
the Poisson density is equal to the given probability `y`:
|
|||
|
|
calculated by ``gammaincinv(k + 1, y)``. `k` must be a nonnegative
|
|||
|
|
integer and `y` between 0 and 1.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
k : array_like
|
|||
|
|
Number of occurrences (nonnegative, real)
|
|||
|
|
y : array_like
|
|||
|
|
Probability
|
|||
|
|
out : ndarray, optional
|
|||
|
|
Optional output array for the function results
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
scalar or ndarray
|
|||
|
|
Values of the shape parameter `m` such that ``pdtr(k, m) = p``
|
|||
|
|
|
|||
|
|
See Also
|
|||
|
|
--------
|
|||
|
|
pdtr : Poisson cumulative distribution function
|
|||
|
|
pdtrc : Poisson survival function
|
|||
|
|
pdtrik : inverse of `pdtr` with respect to `k`
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Examples
|
|||
|
|
--------
|
|||
|
|
>>> import scipy.special as sc
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Compute the CDF for several values of `m`:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> m = [0.5, 1, 1.5]
|
|||
|
|
>>> p = sc.pdtr(1, m)
|
|||
|
|
>>> p
|
|||
|
|
array([0.90979599, 0.73575888, 0.5578254 ])
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Compute the inverse. We recover the values of `m`, as expected:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> sc.pdtri(1, p)
|
|||
|
|
array([0.5, 1. , 1.5]) pdtrik(p, m, out=None)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Inverse to `pdtr` vs `k`.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
p : array_like
|
|||
|
|
Probability
|
|||
|
|
m : array_like
|
|||
|
|
Shape parameter (nonnegative, real)
|
|||
|
|
out : ndarray, optional
|
|||
|
|
Optional output array for the function results
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
scalar or ndarray
|
|||
|
|
The number of occurrences `k` such that ``pdtr(k, m) = p``
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Notes
|
|||
|
|
-----
|
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|
|
This function relies on the ``gamma_q_inva`` function from the Boost
|
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|
|
Math C++ library [1]_.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
References
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
.. [1] The Boost Developers. "Boost C++ Libraries". https://www.boost.org/.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
See Also
|
|||
|
|
--------
|
|||
|
|
pdtr : Poisson cumulative distribution function
|
|||
|
|
pdtrc : Poisson survival function
|
|||
|
|
pdtri : inverse of `pdtr` with respect to `m`
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Examples
|
|||
|
|
--------
|
|||
|
|
>>> import scipy.special as sc
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Compute the CDF for several values of `k`:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> k = [1, 2, 3]
|
|||
|
|
>>> p = sc.pdtr(k, 2)
|
|||
|
|
>>> p
|
|||
|
|
array([0.40600585, 0.67667642, 0.85712346])
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Compute the inverse. We recover the values of `k`, as expected:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> sc.pdtrik(p, 2)
|
|||
|
|
array([1., 2., 3.]) poch(z, m, out=None)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Pochhammer symbol.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
The Pochhammer symbol (rising factorial) is defined as
|
|||
|
|
|
|||
|
|
.. math::
|
|||
|
|
|
|||
|
|
(z)_m = \frac{\Gamma(z + m)}{\Gamma(z)}
|
|||
|
|
|
|||
|
|
For positive integer `m` it reads
|
|||
|
|
|
|||
|
|
.. math::
|
|||
|
|
|
|||
|
|
(z)_m = z (z + 1) ... (z + m - 1)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
See [DLMF]_ for more details.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
z, m : array_like
|
|||
|
|
Real-valued arguments.
|
|||
|
|
out : ndarray, optional
|
|||
|
|
Optional output array for the function results
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
scalar or ndarray
|
|||
|
|
The value of the function.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
References
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
.. [DLMF] Nist, Digital Library of Mathematical Functions
|
|||
|
|
https://dlmf.nist.gov/5.2#iii
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Examples
|
|||
|
|
--------
|
|||
|
|
>>> import scipy.special as sc
|
|||
|
|
|
|||
|
|
It is 1 when m is 0.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> sc.poch([1, 2, 3, 4], 0)
|
|||
|
|
array([1., 1., 1., 1.])
|
|||
|
|
|
|||
|
|
For z equal to 1 it reduces to the factorial function.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> sc.poch(1, 5)
|
|||
|
|
120.0
|
|||
|
|
>>> 1 * 2 * 3 * 4 * 5
|
|||
|
|
120
|
|||
|
|
|
|||
|
|
It can be expressed in terms of the gamma function.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> z, m = 3.7, 2.1
|
|||
|
|
>>> sc.poch(z, m)
|
|||
|
|
20.529581933776953
|
|||
|
|
>>> sc.gamma(z + m) / sc.gamma(z)
|
|||
|
|
20.52958193377696 powm1(x, y, out=None)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Computes ``x**y - 1``.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
This function is useful when `y` is near 0, or when `x` is near 1.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
The function is implemented for real types only (unlike ``numpy.power``,
|
|||
|
|
which accepts complex inputs).
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
x : array_like
|
|||
|
|
The base. Must be a real type (i.e. integer or float, not complex).
|
|||
|
|
y : array_like
|
|||
|
|
The exponent. Must be a real type (i.e. integer or float, not complex).
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
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-------
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|||
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array_like
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Result of the calculation
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Notes
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.. versionadded:: 1.10.0
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The underlying code is implemented for single precision and double
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precision floats only. Unlike `numpy.power`, integer inputs to
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`powm1` are converted to floating point, and complex inputs are
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not accepted.
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Note the following edge cases:
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* ``powm1(x, 0)`` returns 0 for any ``x``, including 0, ``inf``
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and ``nan``.
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* ``powm1(1, y)`` returns 0 for any ``y``, including ``nan``
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|
and ``inf``.
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|
This function wraps the ``powm1`` routine from the
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Boost Math C++ library [1]_.
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References
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.. [1] The Boost Developers. "Boost C++ Libraries". https://www.boost.org/.
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Examples
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--------
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>>> import numpy as np
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>>> from scipy.special import powm1
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>>> x = np.array([1.2, 10.0, 0.9999999975])
|
|||
|
|
>>> y = np.array([1e-9, 1e-11, 0.1875])
|
|||
|
|
>>> powm1(x, y)
|
|||
|
|
array([ 1.82321557e-10, 2.30258509e-11, -4.68749998e-10])
|
|||
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|
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|
It can be verified that the relative errors in those results
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are less than 2.5e-16.
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Compare that to the result of ``x**y - 1``, where the
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relative errors are all larger than 8e-8:
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>>> x**y - 1
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|
array([ 1.82321491e-10, 2.30258035e-11, -4.68750039e-10]) pseudo_huber(delta, r, out=None)
|
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Pseudo-Huber loss function.
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.. math:: \mathrm{pseudo\_huber}(\delta, r) =
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\delta^2 \left( \sqrt{ 1 + \left( \frac{r}{\delta} \right)^2 } - 1 \right)
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Parameters
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----------
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delta : array_like
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Input array, indicating the soft quadratic vs. linear loss changepoint.
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r : array_like
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Input array, possibly representing residuals.
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|
out : ndarray, optional
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Optional output array for the function results
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Returns
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-------
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|
|
res : scalar or ndarray
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|
The computed Pseudo-Huber loss function values.
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See Also
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--------
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huber: Similar function which this function approximates
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Notes
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Like `huber`, `pseudo_huber` often serves as a robust loss function
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in statistics or machine learning to reduce the influence of outliers.
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Unlike `huber`, `pseudo_huber` is smooth.
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Typically, `r` represents residuals, the difference
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between a model prediction and data. Then, for :math:`|r|\leq\delta`,
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`pseudo_huber` resembles the squared error and for :math:`|r|>\delta` the
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absolute error. This way, the Pseudo-Huber loss often achieves
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a fast convergence in model fitting for small residuals like the squared
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error loss function and still reduces the influence of outliers
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(:math:`|r|>\delta`) like the absolute error loss. As :math:`\delta` is
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the cutoff between squared and absolute error regimes, it has
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to be tuned carefully for each problem. `pseudo_huber` is also
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|
|
convex, making it suitable for gradient based optimization. [1]_ [2]_
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.. versionadded:: 0.15.0
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References
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|
.. [1] Hartley, Zisserman, "Multiple View Geometry in Computer Vision".
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|
2003. Cambridge University Press. p. 619
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|
|
.. [2] Charbonnier et al. "Deterministic edge-preserving regularization
|
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|
|
in computed imaging". 1997. IEEE Trans. Image Processing.
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|
6 (2): 298 - 311.
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Examples
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--------
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Import all necessary modules.
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>>> import numpy as np
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>>> from scipy.special import pseudo_huber, huber
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>>> import matplotlib.pyplot as plt
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Calculate the function for ``delta=1`` at ``r=2``.
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>>> pseudo_huber(1., 2.)
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|
1.2360679774997898
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Calculate the function at ``r=2`` for different `delta` by providing
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a list or NumPy array for `delta`.
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>>> pseudo_huber([1., 2., 4.], 3.)
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array([2.16227766, 3.21110255, 4. ])
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Calculate the function for ``delta=1`` at several points by providing
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|
a list or NumPy array for `r`.
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|
>>> pseudo_huber(2., np.array([1., 1.5, 3., 4.]))
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array([0.47213595, 1. , 3.21110255, 4.94427191])
|
|||
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|
The function can be calculated for different `delta` and `r` by
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providing arrays for both with compatible shapes for broadcasting.
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>>> r = np.array([1., 2.5, 8., 10.])
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|||
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>>> deltas = np.array([[1.], [5.], [9.]])
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>>> print(r.shape, deltas.shape)
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|
(4,) (3, 1)
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|
>>> pseudo_huber(deltas, r)
|
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|
array([[ 0.41421356, 1.6925824 , 7.06225775, 9.04987562],
|
|||
|
|
[ 0.49509757, 2.95084972, 22.16990566, 30.90169944],
|
|||
|
|
[ 0.49846624, 3.06693762, 27.37435121, 40.08261642]])
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Plot the function for different `delta`.
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>>> x = np.linspace(-4, 4, 500)
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>>> deltas = [1, 2, 3]
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>>> linestyles = ["dashed", "dotted", "dashdot"]
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>>> fig, ax = plt.subplots()
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>>> combined_plot_parameters = list(zip(deltas, linestyles))
|
|||
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|
>>> for delta, style in combined_plot_parameters:
|
|||
|
|
... ax.plot(x, pseudo_huber(delta, x), label=rf"$\delta={delta}$",
|
|||
|
|
... ls=style)
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|
>>> ax.legend(loc="upper center")
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|
>>> ax.set_xlabel("$x$")
|
|||
|
|
>>> ax.set_title(r"Pseudo-Huber loss function $h_{\delta}(x)$")
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|
|
>>> ax.set_xlim(-4, 4)
|
|||
|
|
>>> ax.set_ylim(0, 8)
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|||
|
|
>>> plt.show()
|
|||
|
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|
Finally, illustrate the difference between `huber` and `pseudo_huber` by
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plotting them and their gradients with respect to `r`. The plot shows
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that `pseudo_huber` is continuously differentiable while `huber` is not
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at the points :math:`\pm\delta`.
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>>> def huber_grad(delta, x):
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... grad = np.copy(x)
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|
... linear_area = np.argwhere(np.abs(x) > delta)
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|
... grad[linear_area]=delta*np.sign(x[linear_area])
|
|||
|
|
... return grad
|
|||
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|
>>> def pseudo_huber_grad(delta, x):
|
|||
|
|
... return x* (1+(x/delta)**2)**(-0.5)
|
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|
|
>>> x=np.linspace(-3, 3, 500)
|
|||
|
|
>>> delta = 1.
|
|||
|
|
>>> fig, ax = plt.subplots(figsize=(7, 7))
|
|||
|
|
>>> ax.plot(x, huber(delta, x), label="Huber", ls="dashed")
|
|||
|
|
>>> ax.plot(x, huber_grad(delta, x), label="Huber Gradient", ls="dashdot")
|
|||
|
|
>>> ax.plot(x, pseudo_huber(delta, x), label="Pseudo-Huber", ls="dotted")
|
|||
|
|
>>> ax.plot(x, pseudo_huber_grad(delta, x), label="Pseudo-Huber Gradient",
|
|||
|
|
... ls="solid")
|
|||
|
|
>>> ax.legend(loc="upper center")
|
|||
|
|
>>> plt.show() rel_entr(x, y, out=None)
|
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|
|
Elementwise function for computing relative entropy.
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.. math::
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\mathrm{rel\_entr}(x, y) =
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\begin{cases}
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|
x \log(x / y) & x > 0, y > 0 \\
|
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|
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0 & x = 0, y \ge 0 \\
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|
|
\infty & \text{otherwise}
|
|||
|
|
\end{cases}
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|||
|
|
|
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|
Parameters
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|||
|
|
----------
|
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|
|
x, y : array_like
|
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|
Input arrays
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|
|
out : ndarray, optional
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|
Optional output array for the function results
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|
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|
|
Returns
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|||
|
|
-------
|
|||
|
|
scalar or ndarray
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Relative entropy of the inputs
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See Also
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--------
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entr, kl_div, scipy.stats.entropy
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|
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|
Notes
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.. versionadded:: 0.15.0
|
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|
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|
This function is jointly convex in x and y.
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|
The origin of this function is in convex programming; see
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|
|
[1]_. Given two discrete probability distributions :math:`p_1,
|
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|
|
\ldots, p_n` and :math:`q_1, \ldots, q_n`, the definition of relative
|
|||
|
|
entropy in the context of *information theory* is
|
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|
|
|
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|
|
.. math::
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|
|
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|
|
\sum_{i = 1}^n \mathrm{rel\_entr}(p_i, q_i).
|
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|
To compute the latter quantity, use `scipy.stats.entropy`.
|
|||
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|
See [2]_ for details.
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|
References
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|
----------
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|
|
.. [1] Boyd, Stephen and Lieven Vandenberghe. *Convex optimization*.
|
|||
|
|
Cambridge University Press, 2004.
|
|||
|
|
:doi:`https://doi.org/10.1017/CBO9780511804441`
|
|||
|
|
.. [2] Kullback-Leibler divergence,
|
|||
|
|
https://en.wikipedia.org/wiki/Kullback%E2%80%93Leibler_divergence round(x, out=None)
|
|||
|
|
|
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|
|
Round to the nearest integer.
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|
|
Returns the nearest integer to `x`. If `x` ends in 0.5 exactly,
|
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|
|
the nearest even integer is chosen.
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|
|
|||
|
|
Parameters
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|
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----------
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|
|
x : array_like
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|
Real valued input.
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|
|
out : ndarray, optional
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|
Optional output array for the function results.
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|
|
Returns
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|
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-------
|
|||
|
|
scalar or ndarray
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|
The nearest integers to the elements of `x`. The result is of
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floating type, not integer type.
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|
Examples
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--------
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|
>>> import scipy.special as sc
|
|||
|
|
|
|||
|
|
It rounds to even.
|
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|
|
|
|||
|
|
>>> sc.round([0.5, 1.5])
|
|||
|
|
array([0., 2.]) shichi(x, out=None)
|
|||
|
|
|
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|
|
Hyperbolic sine and cosine integrals.
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|
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|
The hyperbolic sine integral is
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|
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.. math::
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|
\int_0^x \frac{\sinh{t}}{t}dt
|
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|
|
|
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|
|
and the hyperbolic cosine integral is
|
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|
|
|
|||
|
|
.. math::
|
|||
|
|
|
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|
|
\gamma + \log(x) + \int_0^x \frac{\cosh{t} - 1}{t} dt
|
|||
|
|
|
|||
|
|
where :math:`\gamma` is Euler's constant and :math:`\log` is the
|
|||
|
|
principal branch of the logarithm [1]_ (see also [2]_).
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
x : array_like
|
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|
|
Real or complex points at which to compute the hyperbolic sine
|
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|
|
and cosine integrals.
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|
|
out : tuple of ndarray, optional
|
|||
|
|
Optional output arrays for the function results
|
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|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
si : scalar or ndarray
|
|||
|
|
Hyperbolic sine integral at ``x``
|
|||
|
|
ci : scalar or ndarray
|
|||
|
|
Hyperbolic cosine integral at ``x``
|
|||
|
|
|
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|
See Also
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--------
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|
|
sici : Sine and cosine integrals.
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|
exp1 : Exponential integral E1.
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|
|
expi : Exponential integral Ei.
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|
|
|
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|
|
Notes
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|
For real arguments with ``x < 0``, ``chi`` is the real part of the
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|
hyperbolic cosine integral. For such points ``chi(x)`` and ``chi(x
|
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|
|
+ 0j)`` differ by a factor of ``1j*pi``.
|
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|
|
|
|||
|
|
For real arguments the function is computed by calling Cephes'
|
|||
|
|
[3]_ *shichi* routine. For complex arguments the algorithm is based
|
|||
|
|
on Mpmath's [4]_ *shi* and *chi* routines.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
References
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|||
|
|
----------
|
|||
|
|
.. [1] Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds.
|
|||
|
|
Handbook of Mathematical Functions with Formulas,
|
|||
|
|
Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972.
|
|||
|
|
(See Section 5.2.)
|
|||
|
|
.. [2] NIST Digital Library of Mathematical Functions
|
|||
|
|
https://dlmf.nist.gov/6.2.E15 and https://dlmf.nist.gov/6.2.E16
|
|||
|
|
.. [3] Cephes Mathematical Functions Library,
|
|||
|
|
http://www.netlib.org/cephes/
|
|||
|
|
.. [4] Fredrik Johansson and others.
|
|||
|
|
"mpmath: a Python library for arbitrary-precision floating-point
|
|||
|
|
arithmetic" (Version 0.19) http://mpmath.org/
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Examples
|
|||
|
|
--------
|
|||
|
|
>>> import numpy as np
|
|||
|
|
>>> import matplotlib.pyplot as plt
|
|||
|
|
>>> from scipy.special import shichi, sici
|
|||
|
|
|
|||
|
|
`shichi` accepts real or complex input:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> shichi(0.5)
|
|||
|
|
(0.5069967498196671, -0.05277684495649357)
|
|||
|
|
>>> shichi(0.5 + 2.5j)
|
|||
|
|
((0.11772029666668238+1.831091777729851j),
|
|||
|
|
(0.29912435887648825+1.7395351121166562j))
|
|||
|
|
|
|||
|
|
The hyperbolic sine and cosine integrals Shi(z) and Chi(z) are
|
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|
|
related to the sine and cosine integrals Si(z) and Ci(z) by
|
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* Shi(z) = -i*Si(i*z)
|
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|
|
* Chi(z) = Ci(-i*z) + i*pi/2
|
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|
|
|
|||
|
|
>>> z = 0.25 + 5j
|
|||
|
|
>>> shi, chi = shichi(z)
|
|||
|
|
>>> shi, -1j*sici(1j*z)[0] # Should be the same.
|
|||
|
|
((-0.04834719325101729+1.5469354086921228j),
|
|||
|
|
(-0.04834719325101729+1.5469354086921228j))
|
|||
|
|
>>> chi, sici(-1j*z)[1] + 1j*np.pi/2 # Should be the same.
|
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|
((-0.19568708973868087+1.556276312103824j),
|
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|
(-0.19568708973868087+1.556276312103824j))
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|
|
Plot the functions evaluated on the real axis:
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>>> xp = np.geomspace(1e-8, 4.0, 250)
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>>> x = np.concatenate((-xp[::-1], xp))
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|||
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|
>>> shi, chi = shichi(x)
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|||
|
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>>> fig, ax = plt.subplots()
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>>> ax.plot(x, shi, label='Shi(x)')
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|
>>> ax.plot(x, chi, '--', label='Chi(x)')
|
|||
|
|
>>> ax.set_xlabel('x')
|
|||
|
|
>>> ax.set_title('Hyperbolic Sine and Cosine Integrals')
|
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|
|
>>> ax.legend(shadow=True, framealpha=1, loc='lower right')
|
|||
|
|
>>> ax.grid(True)
|
|||
|
|
>>> plt.show() sici(x, out=None)
|
|||
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|
|
Sine and cosine integrals.
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The sine integral is
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.. math::
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\int_0^x \frac{\sin{t}}{t}dt
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and the cosine integral is
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.. math::
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\gamma + \log(x) + \int_0^x \frac{\cos{t} - 1}{t}dt
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where :math:`\gamma` is Euler's constant and :math:`\log` is the
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principal branch of the logarithm [1]_ (see also [2]_).
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Parameters
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----------
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|
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x : array_like
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|
Real or complex points at which to compute the sine and cosine
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integrals.
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out : tuple of ndarray, optional
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|
Optional output arrays for the function results
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|
Returns
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-------
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si : scalar or ndarray
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Sine integral at ``x``
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ci : scalar or ndarray
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|
Cosine integral at ``x``
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See Also
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--------
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|
shichi : Hyperbolic sine and cosine integrals.
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exp1 : Exponential integral E1.
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|
expi : Exponential integral Ei.
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Notes
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|
For real arguments with ``x < 0``, ``ci`` is the real part of the
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cosine integral. For such points ``ci(x)`` and ``ci(x + 0j)``
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|
differ by a factor of ``1j*pi``.
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|
For real arguments the function is computed by calling Cephes'
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|
[3]_ *sici* routine. For complex arguments the algorithm is based
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on Mpmath's [4]_ *si* and *ci* routines.
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References
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|
|
.. [1] Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds.
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|
|
Handbook of Mathematical Functions with Formulas,
|
|||
|
|
Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972.
|
|||
|
|
(See Section 5.2.)
|
|||
|
|
.. [2] NIST Digital Library of Mathematical Functions
|
|||
|
|
https://dlmf.nist.gov/6.2.E9, https://dlmf.nist.gov/6.2.E12,
|
|||
|
|
and https://dlmf.nist.gov/6.2.E13
|
|||
|
|
.. [3] Cephes Mathematical Functions Library,
|
|||
|
|
http://www.netlib.org/cephes/
|
|||
|
|
.. [4] Fredrik Johansson and others.
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|
|
"mpmath: a Python library for arbitrary-precision floating-point
|
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|
|
arithmetic" (Version 0.19) http://mpmath.org/
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|
Examples
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|
--------
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>>> import numpy as np
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>>> import matplotlib.pyplot as plt
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>>> from scipy.special import sici, exp1
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`sici` accepts real or complex input:
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|||
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>>> sici(2.5)
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|
(1.7785201734438267, 0.2858711963653835)
|
|||
|
|
>>> sici(2.5 + 3j)
|
|||
|
|
((4.505735874563953+0.06863305018999577j),
|
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(0.0793644206906966-2.935510262937543j))
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|||
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|
For z in the right half plane, the sine and cosine integrals are
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related to the exponential integral E1 (implemented in SciPy as
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`scipy.special.exp1`) by
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* Si(z) = (E1(i*z) - E1(-i*z))/2i + pi/2
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* Ci(z) = -(E1(i*z) + E1(-i*z))/2
|
|||
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|
See [1]_ (equations 5.2.21 and 5.2.23).
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We can verify these relations:
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>>> z = 2 - 3j
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|
>>> sici(z)
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|
((4.54751388956229-1.3991965806460565j),
|
|||
|
|
(1.408292501520851+2.9836177420296055j))
|
|||
|
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|||
|
|
>>> (exp1(1j*z) - exp1(-1j*z))/2j + np.pi/2 # Same as sine integral
|
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(4.54751388956229-1.3991965806460565j)
|
|||
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|
|||
|
|
>>> -(exp1(1j*z) + exp1(-1j*z))/2 # Same as cosine integral
|
|||
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(1.408292501520851+2.9836177420296055j)
|
|||
|
|
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|||
|
|
Plot the functions evaluated on the real axis; the dotted horizontal
|
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|
|
lines are at pi/2 and -pi/2:
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|||
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|
>>> x = np.linspace(-16, 16, 150)
|
|||
|
|
>>> si, ci = sici(x)
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|||
|
|
|
|||
|
|
>>> fig, ax = plt.subplots()
|
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|
|
>>> ax.plot(x, si, label='Si(x)')
|
|||
|
|
>>> ax.plot(x, ci, '--', label='Ci(x)')
|
|||
|
|
>>> ax.legend(shadow=True, framealpha=1, loc='upper left')
|
|||
|
|
>>> ax.set_xlabel('x')
|
|||
|
|
>>> ax.set_title('Sine and Cosine Integrals')
|
|||
|
|
>>> ax.axhline(np.pi/2, linestyle=':', alpha=0.5, color='k')
|
|||
|
|
>>> ax.axhline(-np.pi/2, linestyle=':', alpha=0.5, color='k')
|
|||
|
|
>>> ax.grid(True)
|
|||
|
|
>>> plt.show() smirnov(n, d, out=None)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Kolmogorov-Smirnov complementary cumulative distribution function
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|
|
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|
Returns the exact Kolmogorov-Smirnov complementary cumulative
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|
|
distribution function,(aka the Survival Function) of Dn+ (or Dn-)
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|
|
for a one-sided test of equality between an empirical and a
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|
|
theoretical distribution. It is equal to the probability that the
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|
|
maximum difference between a theoretical distribution and an empirical
|
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one based on `n` samples is greater than d.
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|
|
Parameters
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|
|
----------
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|
|
n : int
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|
|
Number of samples
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|
d : float array_like
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|||
|
|
Deviation between the Empirical CDF (ECDF) and the target CDF.
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|
|
out : ndarray, optional
|
|||
|
|
Optional output array for the function results
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|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
scalar or ndarray
|
|||
|
|
The value(s) of smirnov(n, d), Prob(Dn+ >= d) (Also Prob(Dn- >= d))
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|
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|
See Also
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|
--------
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|
|
smirnovi : The Inverse Survival Function for the distribution
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|
|
scipy.stats.ksone : Provides the functionality as a continuous distribution
|
|||
|
|
kolmogorov, kolmogi : Functions for the two-sided distribution
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Notes
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|
|
-----
|
|||
|
|
`smirnov` is used by `stats.kstest` in the application of the
|
|||
|
|
Kolmogorov-Smirnov Goodness of Fit test. For historical reasons this
|
|||
|
|
function is exposed in `scpy.special`, but the recommended way to achieve
|
|||
|
|
the most accurate CDF/SF/PDF/PPF/ISF computations is to use the
|
|||
|
|
`stats.ksone` distribution.
|
|||
|
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|
|
Examples
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--------
|
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|
|
>>> import numpy as np
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|||
|
|
>>> from scipy.special import smirnov
|
|||
|
|
>>> from scipy.stats import norm
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Show the probability of a gap at least as big as 0, 0.5 and 1.0 for a
|
|||
|
|
sample of size 5.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> smirnov(5, [0, 0.5, 1.0])
|
|||
|
|
array([ 1. , 0.056, 0. ])
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Compare a sample of size 5 against N(0, 1), the standard normal
|
|||
|
|
distribution with mean 0 and standard deviation 1.
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|||
|
|
|
|||
|
|
`x` is the sample.
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|||
|
|
|
|||
|
|
>>> x = np.array([-1.392, -0.135, 0.114, 0.190, 1.82])
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> target = norm(0, 1)
|
|||
|
|
>>> cdfs = target.cdf(x)
|
|||
|
|
>>> cdfs
|
|||
|
|
array([0.0819612 , 0.44630594, 0.5453811 , 0.57534543, 0.9656205 ])
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Construct the empirical CDF and the K-S statistics (Dn+, Dn-, Dn).
|
|||
|
|
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|||
|
|
>>> n = len(x)
|
|||
|
|
>>> ecdfs = np.arange(n+1, dtype=float)/n
|
|||
|
|
>>> cols = np.column_stack([x, ecdfs[1:], cdfs, cdfs - ecdfs[:n],
|
|||
|
|
... ecdfs[1:] - cdfs])
|
|||
|
|
>>> with np.printoptions(precision=3):
|
|||
|
|
... print(cols)
|
|||
|
|
[[-1.392 0.2 0.082 0.082 0.118]
|
|||
|
|
[-0.135 0.4 0.446 0.246 -0.046]
|
|||
|
|
[ 0.114 0.6 0.545 0.145 0.055]
|
|||
|
|
[ 0.19 0.8 0.575 -0.025 0.225]
|
|||
|
|
[ 1.82 1. 0.966 0.166 0.034]]
|
|||
|
|
>>> gaps = cols[:, -2:]
|
|||
|
|
>>> Dnpm = np.max(gaps, axis=0)
|
|||
|
|
>>> print(f'Dn-={Dnpm[0]:f}, Dn+={Dnpm[1]:f}')
|
|||
|
|
Dn-=0.246306, Dn+=0.224655
|
|||
|
|
>>> probs = smirnov(n, Dnpm)
|
|||
|
|
>>> print(f'For a sample of size {n} drawn from N(0, 1):',
|
|||
|
|
... f' Smirnov n={n}: Prob(Dn- >= {Dnpm[0]:f}) = {probs[0]:.4f}',
|
|||
|
|
... f' Smirnov n={n}: Prob(Dn+ >= {Dnpm[1]:f}) = {probs[1]:.4f}',
|
|||
|
|
... sep='\n')
|
|||
|
|
For a sample of size 5 drawn from N(0, 1):
|
|||
|
|
Smirnov n=5: Prob(Dn- >= 0.246306) = 0.4711
|
|||
|
|
Smirnov n=5: Prob(Dn+ >= 0.224655) = 0.5245
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Plot the empirical CDF and the standard normal CDF.
|
|||
|
|
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|||
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|
>>> import matplotlib.pyplot as plt
|
|||
|
|
>>> plt.step(np.concatenate(([-2.5], x, [2.5])),
|
|||
|
|
... np.concatenate((ecdfs, [1])),
|
|||
|
|
... where='post', label='Empirical CDF')
|
|||
|
|
>>> xx = np.linspace(-2.5, 2.5, 100)
|
|||
|
|
>>> plt.plot(xx, target.cdf(xx), '--', label='CDF for N(0, 1)')
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Add vertical lines marking Dn+ and Dn-.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> iminus, iplus = np.argmax(gaps, axis=0)
|
|||
|
|
>>> plt.vlines([x[iminus]], ecdfs[iminus], cdfs[iminus], color='r',
|
|||
|
|
... alpha=0.5, lw=4)
|
|||
|
|
>>> plt.vlines([x[iplus]], cdfs[iplus], ecdfs[iplus+1], color='m',
|
|||
|
|
... alpha=0.5, lw=4)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> plt.grid(True)
|
|||
|
|
>>> plt.legend(framealpha=1, shadow=True)
|
|||
|
|
>>> plt.show() smirnovi(n, p, out=None)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Inverse to `smirnov`
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns `d` such that ``smirnov(n, d) == p``, the critical value
|
|||
|
|
corresponding to `p`.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
n : int
|
|||
|
|
Number of samples
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|||
|
|
p : float array_like
|
|||
|
|
Probability
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|
|
out : ndarray, optional
|
|||
|
|
Optional output array for the function results
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
scalar or ndarray
|
|||
|
|
The value(s) of smirnovi(n, p), the critical values.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
See Also
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|
|
--------
|
|||
|
|
smirnov : The Survival Function (SF) for the distribution
|
|||
|
|
scipy.stats.ksone : Provides the functionality as a continuous distribution
|
|||
|
|
kolmogorov, kolmogi : Functions for the two-sided distribution
|
|||
|
|
scipy.stats.kstwobign : Two-sided Kolmogorov-Smirnov distribution, large n
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Notes
|
|||
|
|
-----
|
|||
|
|
`smirnov` is used by `stats.kstest` in the application of the
|
|||
|
|
Kolmogorov-Smirnov Goodness of Fit test. For historical reasons this
|
|||
|
|
function is exposed in `scpy.special`, but the recommended way to achieve
|
|||
|
|
the most accurate CDF/SF/PDF/PPF/ISF computations is to use the
|
|||
|
|
`stats.ksone` distribution.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Examples
|
|||
|
|
--------
|
|||
|
|
>>> from scipy.special import smirnovi, smirnov
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> n = 24
|
|||
|
|
>>> deviations = [0.1, 0.2, 0.3]
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Use `smirnov` to compute the complementary CDF of the Smirnov
|
|||
|
|
distribution for the given number of samples and deviations.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> p = smirnov(n, deviations)
|
|||
|
|
>>> p
|
|||
|
|
array([0.58105083, 0.12826832, 0.01032231])
|
|||
|
|
|
|||
|
|
The inverse function ``smirnovi(n, p)`` returns ``deviations``.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> smirnovi(n, p)
|
|||
|
|
array([0.1, 0.2, 0.3]) spence(z, out=None)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Spence's function, also known as the dilogarithm.
|
|||
|
|
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|||
|
|
It is defined to be
|
|||
|
|
|
|||
|
|
.. math::
|
|||
|
|
\int_1^z \frac{\log(t)}{1 - t}dt
|
|||
|
|
|
|||
|
|
for complex :math:`z`, where the contour of integration is taken
|
|||
|
|
to avoid the branch cut of the logarithm. Spence's function is
|
|||
|
|
analytic everywhere except the negative real axis where it has a
|
|||
|
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branch cut.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
z : array_like
|
|||
|
|
Points at which to evaluate Spence's function
|
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|
|
out : ndarray, optional
|
|||
|
|
Optional output array for the function results
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
s : scalar or ndarray
|
|||
|
|
Computed values of Spence's function
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Notes
|
|||
|
|
-----
|
|||
|
|
There is a different convention which defines Spence's function by
|
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|
|
the integral
|
|||
|
|
|
|||
|
|
.. math::
|
|||
|
|
-\int_0^z \frac{\log(1 - t)}{t}dt;
|
|||
|
|
|
|||
|
|
this is our ``spence(1 - z)``.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Examples
|
|||
|
|
--------
|
|||
|
|
>>> import numpy as np
|
|||
|
|
>>> from scipy.special import spence
|
|||
|
|
>>> import matplotlib.pyplot as plt
|
|||
|
|
|
|||
|
|
The function is defined for complex inputs:
|
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>>> spence([1-1j, 1.5+2j, 3j, -10-5j])
|
|||
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|
array([-0.20561676+0.91596559j, -0.86766909-1.39560134j,
|
|||
|
|
-0.59422064-2.49129918j, -1.14044398+6.80075924j])
|
|||
|
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|
|||
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For complex inputs on the branch cut, which is the negative real axis,
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the function returns the limit for ``z`` with positive imaginary part.
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For example, in the following, note the sign change of the imaginary
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part of the output for ``z = -2`` and ``z = -2 - 1e-8j``:
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>>> spence([-2 + 1e-8j, -2, -2 - 1e-8j])
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array([2.32018041-3.45139229j, 2.32018042-3.4513923j ,
|
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|
|
2.32018041+3.45139229j])
|
|||
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The function returns ``nan`` for real inputs on the branch cut:
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>>> spence(-1.5)
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nan
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Verify some particular values: ``spence(0) = pi**2/6``,
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``spence(1) = 0`` and ``spence(2) = -pi**2/12``.
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>>> spence([0, 1, 2])
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|||
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array([ 1.64493407, 0. , -0.82246703])
|
|||
|
|
>>> np.pi**2/6, -np.pi**2/12
|
|||
|
|
(1.6449340668482264, -0.8224670334241132)
|
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|||
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Verify the identity::
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spence(z) + spence(1 - z) = pi**2/6 - log(z)*log(1 - z)
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>>> z = 3 + 4j
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|||
|
|
>>> spence(z) + spence(1 - z)
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|||
|
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(-2.6523186143876067+1.8853470951513935j)
|
|||
|
|
>>> np.pi**2/6 - np.log(z)*np.log(1 - z)
|
|||
|
|
(-2.652318614387606+1.885347095151394j)
|
|||
|
|
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|
Plot the function for positive real input.
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|
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>>> fig, ax = plt.subplots()
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>>> x = np.linspace(0, 6, 400)
|
|||
|
|
>>> ax.plot(x, spence(x))
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|||
|
|
>>> ax.grid()
|
|||
|
|
>>> ax.set_xlabel('x')
|
|||
|
|
>>> ax.set_title('spence(x)')
|
|||
|
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>>> plt.show() stdtr(df, t, out=None)
|
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|
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Student t distribution cumulative distribution function
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Returns the integral:
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.. math::
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|
\frac{\Gamma((df+1)/2)}{\sqrt{\pi df} \Gamma(df/2)}
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\int_{-\infty}^t (1+x^2/df)^{-(df+1)/2}\, dx
|
|||
|
|
|
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|
Parameters
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|
|
----------
|
|||
|
|
df : array_like
|
|||
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|
Degrees of freedom
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|
|
t : array_like
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|||
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|
Upper bound of the integral
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|
|
out : ndarray, optional
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|
|
Optional output array for the function results
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|
|
|
|||
|
|
Returns
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|||
|
|
-------
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|||
|
|
scalar or ndarray
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|
Value of the Student t CDF at t
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See Also
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|
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--------
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|
|
stdtridf : inverse of stdtr with respect to `df`
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|
|
stdtrit : inverse of stdtr with respect to `t`
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|
|
scipy.stats.t : student t distribution
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|
|
Notes
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-----
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|
The student t distribution is also available as `scipy.stats.t`.
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|
|
Calling `stdtr` directly can improve performance compared to the
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|
|
``cdf`` method of `scipy.stats.t` (see last example below).
|
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|
|
The function is computed using the Boost Math library [1]_, which
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|
|
relies on the incomplete beta function.
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|
|
|
|||
|
|
References
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|
----------
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|||
|
|
.. [1] Boost C++ Libraries, http://www.boost.org/
|
|||
|
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|
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|
|
Examples
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|
|
--------
|
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|
|
Calculate the function for ``df=3`` at ``t=1``.
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>>> import numpy as np
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|||
|
|
>>> from scipy.special import stdtr
|
|||
|
|
>>> import matplotlib.pyplot as plt
|
|||
|
|
>>> stdtr(3, 1)
|
|||
|
|
0.8044988905221148
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|
|
|
|||
|
|
Plot the function for three different degrees of freedom.
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|
|
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|||
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|
>>> x = np.linspace(-10, 10, 1000)
|
|||
|
|
>>> fig, ax = plt.subplots()
|
|||
|
|
>>> parameters = [(1, "solid"), (3, "dashed"), (10, "dotted")]
|
|||
|
|
>>> for (df, linestyle) in parameters:
|
|||
|
|
... ax.plot(x, stdtr(df, x), ls=linestyle, label=f"$df={df}$")
|
|||
|
|
>>> ax.legend()
|
|||
|
|
>>> ax.set_title("Student t distribution cumulative distribution function")
|
|||
|
|
>>> plt.show()
|
|||
|
|
|
|||
|
|
The function can be computed for several degrees of freedom at the same
|
|||
|
|
time by providing a NumPy array or list for `df`:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> stdtr([1, 2, 3], 1)
|
|||
|
|
array([0.75 , 0.78867513, 0.80449889])
|
|||
|
|
|
|||
|
|
It is possible to calculate the function at several points for several
|
|||
|
|
different degrees of freedom simultaneously by providing arrays for `df`
|
|||
|
|
and `t` with shapes compatible for broadcasting. Compute `stdtr` at
|
|||
|
|
4 points for 3 degrees of freedom resulting in an array of shape 3x4.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> dfs = np.array([[1], [2], [3]])
|
|||
|
|
>>> t = np.array([2, 4, 6, 8])
|
|||
|
|
>>> dfs.shape, t.shape
|
|||
|
|
((3, 1), (4,))
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> stdtr(dfs, t)
|
|||
|
|
array([[0.85241638, 0.92202087, 0.94743154, 0.96041658],
|
|||
|
|
[0.90824829, 0.97140452, 0.98666426, 0.99236596],
|
|||
|
|
[0.93033702, 0.98599577, 0.99536364, 0.99796171]])
|
|||
|
|
|
|||
|
|
The t distribution is also available as `scipy.stats.t`. Calling `stdtr`
|
|||
|
|
directly can be much faster than calling the ``cdf`` method of
|
|||
|
|
`scipy.stats.t`. To get the same results, one must use the following
|
|||
|
|
parametrization: ``scipy.stats.t(df).cdf(x) = stdtr(df, x)``.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> from scipy.stats import t
|
|||
|
|
>>> df, x = 3, 1
|
|||
|
|
>>> stdtr_result = stdtr(df, x) # this can be faster than below
|
|||
|
|
>>> stats_result = t(df).cdf(x)
|
|||
|
|
>>> stats_result == stdtr_result # test that results are equal
|
|||
|
|
True stdtridf(p, t, out=None)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Inverse of `stdtr` vs df
|
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|
|
|
|||
|
|
Returns the argument df such that stdtr(df, t) is equal to `p`.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
p : array_like
|
|||
|
|
Probability
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|
|
t : array_like
|
|||
|
|
Upper bound of the integral
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|
|
out : ndarray, optional
|
|||
|
|
Optional output array for the function results
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
df : scalar or ndarray
|
|||
|
|
Value of `df` such that ``stdtr(df, t) == p``
|
|||
|
|
|
|||
|
|
See Also
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|
|
--------
|
|||
|
|
stdtr : Student t CDF
|
|||
|
|
stdtrit : inverse of stdtr with respect to `t`
|
|||
|
|
scipy.stats.t : Student t distribution
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|||
|
|
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|
|
Examples
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--------
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|
Compute the student t cumulative distribution function for one
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parameter set.
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|||
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|
>>> from scipy.special import stdtr, stdtridf
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|||
|
|
>>> df, x = 5, 2
|
|||
|
|
>>> cdf_value = stdtr(df, x)
|
|||
|
|
>>> cdf_value
|
|||
|
|
0.9490302605850709
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Verify that `stdtridf` recovers the original value for `df` given
|
|||
|
|
the CDF value and `x`.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> stdtridf(cdf_value, x)
|
|||
|
|
5.0 stdtrit(df, p, out=None)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
The `p`-th quantile of the student t distribution.
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|
|
|
|||
|
|
This function is the inverse of the student t distribution cumulative
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|
|
distribution function (CDF), returning `t` such that `stdtr(df, t) = p`.
|
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|
|
|
|||
|
|
Returns the argument `t` such that stdtr(df, t) is equal to `p`.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
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|||
|
|
----------
|
|||
|
|
df : array_like
|
|||
|
|
Degrees of freedom
|
|||
|
|
p : array_like
|
|||
|
|
Probability
|
|||
|
|
out : ndarray, optional
|
|||
|
|
Optional output array for the function results
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
t : scalar or ndarray
|
|||
|
|
Value of `t` such that ``stdtr(df, t) == p``
|
|||
|
|
|
|||
|
|
See Also
|
|||
|
|
--------
|
|||
|
|
stdtr : Student t CDF
|
|||
|
|
stdtridf : inverse of stdtr with respect to `df`
|
|||
|
|
scipy.stats.t : Student t distribution
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Notes
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|
|
-----
|
|||
|
|
The student t distribution is also available as `scipy.stats.t`. Calling
|
|||
|
|
`stdtrit` directly can improve performance compared to the ``ppf``
|
|||
|
|
method of `scipy.stats.t` (see last example below).
|
|||
|
|
|
|||
|
|
The function is computed using the Boost Math library [1]_, which
|
|||
|
|
relies on the incomplete beta function.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
References
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
.. [1] Boost C++ Libraries, http://www.boost.org/
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Examples
|
|||
|
|
--------
|
|||
|
|
`stdtrit` represents the inverse of the student t distribution CDF which
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|
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is available as `stdtr`. Here, we calculate the CDF for ``df`` at
|
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|
``x=1``. `stdtrit` then returns ``1`` up to floating point errors
|
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|
|
given the same value for `df` and the computed CDF value.
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|||
|
|
|
|||
|
|
>>> import numpy as np
|
|||
|
|
>>> from scipy.special import stdtr, stdtrit
|
|||
|
|
>>> import matplotlib.pyplot as plt
|
|||
|
|
>>> df = 3
|
|||
|
|
>>> x = 1
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|||
|
|
>>> cdf_value = stdtr(df, x)
|
|||
|
|
>>> stdtrit(df, cdf_value)
|
|||
|
|
0.9999999994418539
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Plot the function for three different degrees of freedom.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> x = np.linspace(0, 1, 1000)
|
|||
|
|
>>> parameters = [(1, "solid"), (2, "dashed"), (5, "dotted")]
|
|||
|
|
>>> fig, ax = plt.subplots()
|
|||
|
|
>>> for (df, linestyle) in parameters:
|
|||
|
|
... ax.plot(x, stdtrit(df, x), ls=linestyle, label=f"$df={df}$")
|
|||
|
|
>>> ax.legend()
|
|||
|
|
>>> ax.set_ylim(-10, 10)
|
|||
|
|
>>> ax.set_title("Student t distribution quantile function")
|
|||
|
|
>>> plt.show()
|
|||
|
|
|
|||
|
|
The function can be computed for several degrees of freedom at the same
|
|||
|
|
time by providing a NumPy array or list for `df`:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> stdtrit([1, 2, 3], 0.7)
|
|||
|
|
array([0.72654253, 0.6172134 , 0.58438973])
|
|||
|
|
|
|||
|
|
It is possible to calculate the function at several points for several
|
|||
|
|
different degrees of freedom simultaneously by providing arrays for `df`
|
|||
|
|
and `p` with shapes compatible for broadcasting. Compute `stdtrit` at
|
|||
|
|
4 points for 3 degrees of freedom resulting in an array of shape 3x4.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> dfs = np.array([[1], [2], [3]])
|
|||
|
|
>>> p = np.array([0.2, 0.4, 0.7, 0.8])
|
|||
|
|
>>> dfs.shape, p.shape
|
|||
|
|
((3, 1), (4,))
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> stdtrit(dfs, p)
|
|||
|
|
array([[-1.37638192, -0.3249197 , 0.72654253, 1.37638192],
|
|||
|
|
[-1.06066017, -0.28867513, 0.6172134 , 1.06066017],
|
|||
|
|
[-0.97847231, -0.27667066, 0.58438973, 0.97847231]])
|
|||
|
|
|
|||
|
|
The t distribution is also available as `scipy.stats.t`. Calling `stdtrit`
|
|||
|
|
directly can be much faster than calling the ``ppf`` method of
|
|||
|
|
`scipy.stats.t`. To get the same results, one must use the following
|
|||
|
|
parametrization: ``scipy.stats.t(df).ppf(x) = stdtrit(df, x)``.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> from scipy.stats import t
|
|||
|
|
>>> df, x = 3, 0.5
|
|||
|
|
>>> stdtrit_result = stdtrit(df, x) # this can be faster than below
|
|||
|
|
>>> stats_result = t(df).ppf(x)
|
|||
|
|
>>> stats_result == stdtrit_result # test that results are equal
|
|||
|
|
True tklmbda(x, lmbda, out=None)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Cumulative distribution function of the Tukey lambda distribution.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
----------
|
|||
|
|
x, lmbda : array_like
|
|||
|
|
Parameters
|
|||
|
|
out : ndarray, optional
|
|||
|
|
Optional output array for the function results
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Returns
|
|||
|
|
-------
|
|||
|
|
cdf : scalar or ndarray
|
|||
|
|
Value of the Tukey lambda CDF
|
|||
|
|
|
|||
|
|
See Also
|
|||
|
|
--------
|
|||
|
|
scipy.stats.tukeylambda : Tukey lambda distribution
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Examples
|
|||
|
|
--------
|
|||
|
|
>>> import numpy as np
|
|||
|
|
>>> import matplotlib.pyplot as plt
|
|||
|
|
>>> from scipy.special import tklmbda, expit
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Compute the cumulative distribution function (CDF) of the Tukey lambda
|
|||
|
|
distribution at several ``x`` values for `lmbda` = -1.5.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> x = np.linspace(-2, 2, 9)
|
|||
|
|
>>> x
|
|||
|
|
array([-2. , -1.5, -1. , -0.5, 0. , 0.5, 1. , 1.5, 2. ])
|
|||
|
|
>>> tklmbda(x, -1.5)
|
|||
|
|
array([0.34688734, 0.3786554 , 0.41528805, 0.45629737, 0.5 ,
|
|||
|
|
0.54370263, 0.58471195, 0.6213446 , 0.65311266])
|
|||
|
|
|
|||
|
|
When `lmbda` is 0, the function is the logistic sigmoid function,
|
|||
|
|
which is implemented in `scipy.special` as `expit`.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
>>> tklmbda(x, 0)
|
|||
|
|
array([0.11920292, 0.18242552, 0.26894142, 0.37754067, 0.5 ,
|
|||
|
|
0.62245933, 0.73105858, 0.81757448, 0.88079708])
|
|||
|
|
>>> expit(x)
|
|||
|
|
array([0.11920292, 0.18242552, 0.26894142, 0.37754067, 0.5 ,
|
|||
|
|
0.62245933, 0.73105858, 0.81757448, 0.88079708])
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|||
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When `lmbda` is 1, the Tukey lambda distribution is uniform on the
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interval [-1, 1], so the CDF increases linearly.
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>>> t = np.linspace(-1, 1, 9)
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>>> tklmbda(t, 1)
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|
array([0. , 0.125, 0.25 , 0.375, 0.5 , 0.625, 0.75 , 0.875, 1. ])
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In the following, we generate plots for several values of `lmbda`.
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The first figure shows graphs for `lmbda` <= 0.
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>>> styles = ['-', '-.', '--', ':']
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>>> fig, ax = plt.subplots()
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>>> x = np.linspace(-12, 12, 500)
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>>> for k, lmbda in enumerate([-1.0, -0.5, 0.0]):
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... y = tklmbda(x, lmbda)
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... ax.plot(x, y, styles[k], label=rf'$\lambda$ = {lmbda:-4.1f}')
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>>> ax.set_title(r'tklmbda(x, $\lambda$)')
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>>> ax.set_label('x')
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>>> ax.legend(framealpha=1, shadow=True)
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>>> ax.grid(True)
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The second figure shows graphs for `lmbda` > 0. The dots in the
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graphs show the bounds of the support of the distribution.
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>>> fig, ax = plt.subplots()
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>>> x = np.linspace(-4.2, 4.2, 500)
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>>> lmbdas = [0.25, 0.5, 1.0, 1.5]
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>>> for k, lmbda in enumerate(lmbdas):
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... y = tklmbda(x, lmbda)
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... ax.plot(x, y, styles[k], label=fr'$\lambda$ = {lmbda}')
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>>> ax.set_prop_cycle(None)
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>>> for lmbda in lmbdas:
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... ax.plot([-1/lmbda, 1/lmbda], [0, 1], '.', ms=8)
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>>> ax.set_title(r'tklmbda(x, $\lambda$)')
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>>> ax.set_xlabel('x')
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>>> ax.legend(framealpha=1, shadow=True)
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>>> ax.grid(True)
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>>> plt.tight_layout()
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>>> plt.show()
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The CDF of the Tukey lambda distribution is also implemented as the
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``cdf`` method of `scipy.stats.tukeylambda`. In the following,
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``tukeylambda.cdf(x, -0.5)`` and ``tklmbda(x, -0.5)`` compute the
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same values:
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>>> from scipy.stats import tukeylambda
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>>> x = np.linspace(-2, 2, 9)
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>>> tukeylambda.cdf(x, -0.5)
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|
array([0.21995157, 0.27093858, 0.33541677, 0.41328161, 0.5 ,
|
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|
|
0.58671839, 0.66458323, 0.72906142, 0.78004843])
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|
>>> tklmbda(x, -0.5)
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|||
|
|
array([0.21995157, 0.27093858, 0.33541677, 0.41328161, 0.5 ,
|
|||
|
|
0.58671839, 0.66458323, 0.72906142, 0.78004843])
|
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|
The implementation in ``tukeylambda`` also provides location and scale
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parameters, and other methods such as ``pdf()`` (the probability
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density function) and ``ppf()`` (the inverse of the CDF), so for
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working with the Tukey lambda distribution, ``tukeylambda`` is more
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generally useful. The primary advantage of ``tklmbda`` is that it is
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significantly faster than ``tukeylambda.cdf``. wrightomega(z, out=None)
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Wright Omega function.
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Defined as the solution to
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.. math::
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\omega + \log(\omega) = z
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where :math:`\log` is the principal branch of the complex logarithm.
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Parameters
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----------
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z : array_like
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Points at which to evaluate the Wright Omega function
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out : ndarray, optional
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Optional output array for the function values
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Returns
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omega : scalar or ndarray
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Values of the Wright Omega function
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See Also
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lambertw : The Lambert W function
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Notes
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.. versionadded:: 0.19.0
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The function can also be defined as
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.. math::
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\omega(z) = W_{K(z)}(e^z)
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where :math:`K(z) = \lceil (\Im(z) - \pi)/(2\pi) \rceil` is the
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unwinding number and :math:`W` is the Lambert W function.
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The implementation here is taken from [1]_.
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References
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|
.. [1] Lawrence, Corless, and Jeffrey, "Algorithm 917: Complex
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|
Double-Precision Evaluation of the Wright :math:`\omega`
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|
|
Function." ACM Transactions on Mathematical Software,
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2012. :doi:`10.1145/2168773.2168779`.
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Examples
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>>> import numpy as np
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>>> from scipy.special import wrightomega, lambertw
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>>> wrightomega([-2, -1, 0, 1, 2])
|
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|
array([0.12002824, 0.27846454, 0.56714329, 1. , 1.5571456 ])
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|
Complex input:
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>>> wrightomega(3 + 5j)
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(1.5804428632097158+3.8213626783287937j)
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|
Verify that ``wrightomega(z)`` satisfies ``w + log(w) = z``:
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>>> w = -5 + 4j
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>>> wrightomega(w + np.log(w))
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(-5+4j)
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Verify the connection to ``lambertw``:
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>>> z = 0.5 + 3j
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|
>>> wrightomega(z)
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(0.0966015889280649+1.4937828458191993j)
|
|||
|
|
>>> lambertw(np.exp(z))
|
|||
|
|
(0.09660158892806493+1.4937828458191993j)
|
|||
|
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|
|||
|
|
>>> z = 0.5 + 4j
|
|||
|
|
>>> wrightomega(z)
|
|||
|
|
(-0.3362123489037213+2.282986001579032j)
|
|||
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|
>>> lambertw(np.exp(z), k=1)
|
|||
|
|
(-0.33621234890372115+2.282986001579032j) yn(n, x, out=None)
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Bessel function of the second kind of integer order and real argument.
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Parameters
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n : array_like
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Order (integer).
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x : array_like
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Argument (float).
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out : ndarray, optional
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Optional output array for the function results
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Returns
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-------
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Y : scalar or ndarray
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Value of the Bessel function, :math:`Y_n(x)`.
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See Also
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yv : For real order and real or complex argument.
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y0: faster implementation of this function for order 0
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y1: faster implementation of this function for order 1
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Notes
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Wrapper for the Cephes [1]_ routine `yn`.
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The function is evaluated by forward recurrence on `n`, starting with
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values computed by the Cephes routines `y0` and `y1`. If ``n = 0`` or 1,
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the routine for `y0` or `y1` is called directly.
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References
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.. [1] Cephes Mathematical Functions Library,
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http://www.netlib.org/cephes/
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Examples
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--------
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Evaluate the function of order 0 at one point.
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>>> from scipy.special import yn
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>>> yn(0, 1.)
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0.08825696421567697
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Evaluate the function at one point for different orders.
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>>> yn(0, 1.), yn(1, 1.), yn(2, 1.)
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|
(0.08825696421567697, -0.7812128213002888, -1.6506826068162546)
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The evaluation for different orders can be carried out in one call by
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providing a list or NumPy array as argument for the `v` parameter:
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>>> yn([0, 1, 2], 1.)
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array([ 0.08825696, -0.78121282, -1.65068261])
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Evaluate the function at several points for order 0 by providing an
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array for `z`.
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>>> import numpy as np
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>>> points = np.array([0.5, 3., 8.])
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>>> yn(0, points)
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array([-0.44451873, 0.37685001, 0.22352149])
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If `z` is an array, the order parameter `v` must be broadcastable to
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the correct shape if different orders shall be computed in one call.
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To calculate the orders 0 and 1 for a 1D array:
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>>> orders = np.array([[0], [1]])
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>>> orders.shape
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(2, 1)
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>>> yn(orders, points)
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array([[-0.44451873, 0.37685001, 0.22352149],
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[-1.47147239, 0.32467442, -0.15806046]])
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Plot the functions of order 0 to 3 from 0 to 10.
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>>> import matplotlib.pyplot as plt
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>>> fig, ax = plt.subplots()
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>>> x = np.linspace(0., 10., 1000)
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>>> for i in range(4):
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... ax.plot(x, yn(i, x), label=f'$Y_{i!r}$')
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>>> ax.set_ylim(-3, 1)
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>>> ax.legend()
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>>> plt.show() '%.200s' object is not subscriptable too many values to unpack (expected %zd) need more than %zd value%.1s to unpack 'NoneType' object has no attribute '%.30s' dictionary changed size during iteration 'NoneType' object is not iterable _cython_3_2_4.cython_function_or_method _cython_3_2_4._common_types_metatype iteration failed to converge: %g + %gj Input parameter p is out of range Input parameter a is out of range Input parameter x is out of range Indeterminate result for (x, p) == (0, 0). Computational Error, (%.17g, %.17g, %.17g) floating point division by zero xÚÍZÍ�$·u_’,ËŽ�EdF.µØ3³èmMO€ X@
|
|||
|
|
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|
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|
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|
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|
|||
|
|
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|
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|
|
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TÖ�N§Å&.6®œ”SCK䮚²˜/ãùÖòð Hãieâ9mͶ”®\Åse¨”Iê¬×ÆâŒkÍ` t¡&„ŤbPH,¦<^�VâB'3èGÓ íŃØ+Zhäê*e\˜d–ðµVŒáG%=&²L–lΫÜB•XˆÎl¹peݹÈ'¶®\³J\•ºjæª3ÆìË®*œBðÓ'éì�Æ’>jV64Ö±¹®Ç-‹NÏFš^² u !²x.¦Û¸u š\Zp&p~™ò¥¨|Se|¶¤¥Ø6Rg¹waDŒÜ¶Ïx\L¥{4±L|CÏ»×eÝêð@«¡ÜÄŒî6TÛe³ßM9¡ïÅ >I ²W™S·ÂW‰Œ‘ïáÐ˳&D_L…L�‰%)Î<
|
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|
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Parameters
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----------
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all : {'ignore', 'warn' 'raise'}, optional
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Set treatment for all type of special-function errors at
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once. The options are:
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- 'ignore' Take no action when the error occurs
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- 'warn' Print a `SpecialFunctionWarning` when the error
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occurs (via the Python `warnings` module)
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- 'raise' Raise a `SpecialFunctionError` when the error
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occurs.
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The default is to not change the current behavior. If
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behaviors for additional categories of special-function errors
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are specified, then ``all`` is applied first, followed by the
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additional categories.
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singular : {'ignore', 'warn', 'raise'}, optional
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Treatment for singularities.
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underflow : {'ignore', 'warn', 'raise'}, optional
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|||
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Treatment for underflow.
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overflow : {'ignore', 'warn', 'raise'}, optional
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|||
|
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Treatment for overflow.
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|||
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slow : {'ignore', 'warn', 'raise'}, optional
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|||
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Treatment for slow convergence.
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loss : {'ignore', 'warn', 'raise'}, optional
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|||
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Treatment for loss of accuracy.
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no_result : {'ignore', 'warn', 'raise'}, optional
|
|||
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Treatment for failing to find a result.
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domain : {'ignore', 'warn', 'raise'}, optional
|
|||
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|
Treatment for an invalid argument to a function.
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|||
|
|
arg : {'ignore', 'warn', 'raise'}, optional
|
|||
|
|
Treatment for an invalid parameter to a function.
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|||
|
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other : {'ignore', 'warn', 'raise'}, optional
|
|||
|
|
Treatment for an unknown error.
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|
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|
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|
|
Returns
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-------
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|
olderr : dict
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|
Dictionary containing the old settings.
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See Also
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geterr : get the current way of handling special-function errors
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|
errstate : context manager for special-function error handling
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|
numpy.seterr : similar numpy function for floating-point errors
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Examples
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>>> import scipy.special as sc
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>>> from pytest import raises
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>>> sc.gammaln(0)
|
|||
|
|
inf
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>>> olderr = sc.seterr(singular='raise')
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|
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>>> with raises(sc.SpecialFunctionError):
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|
|
... sc.gammaln(0)
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|
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...
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|
|
>>> _ = sc.seterr(**olderr)
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|
We can also raise for every category except one.
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>>> olderr = sc.seterr(all='raise', singular='ignore')
|
|||
|
|
>>> sc.gammaln(0)
|
|||
|
|
inf
|
|||
|
|
>>> with raises(sc.SpecialFunctionError):
|
|||
|
|
... sc.spence(-1)
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|
|
...
|
|||
|
|
>>> _ = sc.seterr(**olderr)
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|||
|
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|
Get the current way of handling special-function errors.
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Returns
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-------
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|
err : dict
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|
|
A dictionary with keys "singular", "underflow", "overflow",
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|
"slow", "loss", "no_result", "domain", "arg", and "other",
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|
whose values are from the strings "ignore", "warn", and
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"raise". The keys represent possible special-function errors,
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and the values define how these errors are handled.
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See Also
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--------
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|
seterr : set how special-function errors are handled
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|
|
errstate : context manager for special-function error handling
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|
numpy.geterr : similar numpy function for floating-point errors
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Notes
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|
For complete documentation of the types of special-function errors
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and treatment options, see `seterr`.
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Examples
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By default all errors are ignored.
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>>> import scipy.special as sc
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>>> for key, value in sorted(sc.geterr().items()):
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|
... print(f'{key}: {value}')
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|
...
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arg: ignore
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domain: ignore
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loss: ignore
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memory: raise
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no_result: ignore
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other: ignore
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overflow: ignore
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singular: ignore
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slow: ignore
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|
|
underflow: ignore
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|
|||
|
|
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™rÇQw|B÷ ÙàVìB»+F€û!@oÝ!¦¤x>@´_ÿiø>ACŒ·–¦9@g¢6Ë6A4¬.4‡AID °ÕBF.r³¾~BéH—Œ¢¦ñBœ.{~AA\CÌb¶Ç4¾·C 9@'k;˜0 J?ÏÑ]³°4µ?˜ hN!Õó?V zéûÉ@ˆ˜@iŒ~!@¡%”¥„6@7—΀JN?ãTT«Åëµ?Ÿ³Érô?»b�æGâ@¡!ê†!@:Bíe9@J8¥8BG‡¿t2:;…ô? ,õÏ�3@ÄèmZ/MW@êèÊ Ì5f@-9ìzbb@ͲUŒ´I@¬%<AWP@œu±pÊ@µŒt½ÍT®@>Öï½wH¼@;s º*·@‚ž1Ç/ @Ý¡¹ÑX3@T
|
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|
|||
|
|
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ªGyìv@Pno¶Ù6†@Ðè¹ê«‚@ »TL
|
|||
|
|
vj@wP‰`0�R@o_¢Ë��@�þýiz³@Ñ€Ò(Â@=—¦
|
|||
|
|
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|
|||
|
|
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|
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|
|
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|
|||
|
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